Вычисление самой длинной общей подстроки из двух строк с использованием массивов суффиксов

После того, как я узнал, как построить массив суффиксов в сложности $O(N)$ , я заинтересовался открытием приложений массивов суффиксов. Одним из них является нахождение самой длинной общей подстроки между двумя строками за $O(N)$ времени. Я нашел в интернете следующий алгоритм:

1. объединить две строки $A$ и $B$ в одну строку $AB$
2. вычислить массив суффиксов $AB$
3. вычислить массив $LCP$ (самый длинный общий префикс)
4. ответ является наибольшим значением $LCP[i]$

Я пытался реализовать его, но так как многие детали реализации не были указаны (то есть, при конкатенации строк, должен ли я ставить специальный символ между ними ( )?), Мой код не удался во многих тестовых примерах. Может ли кто-нибудь подробнее остановиться на этом алгоритме?$AcB$

Заранее спасибо.

Примечание: я не гарантирую правильность этого алгоритма; Я нашел это в блоге, и я не уверен, что это работает. Если вы считаете, что это неверно, предложите другой алгоритм.

Ваш алгоритм неверен . Я предполагаю, что вы знаете, как вычислить массив суффиксов и массив LCP строки, то есть их эффективную реализацию. Как было отмечено в комментариях, вы должны попытаться понять, что представляет собой каждый компонент и почему он работает.

Прежде всего, это массив суффиксов ( ) строки. Суффиксный массив - это в основном все суффиксы строки $SA$$S$ расположенные в порядке возрастания лексикографии. Более конкретно, значение указывает, что суффикс S, начиная с позиции S A [ i ] , ранжируется i в лексикографическом порядке всех суффиксов $SA[i]$$S$$SA[i]$$i$$S$ .

Далее идет массив L C P [ i ] указывает длину самого длинного общего префикса между суффиксами, начиная с S A [ i - 1 ] и S A [ i ] . То есть он отслеживает длину самого длинного общего префикса среди двух последовательных суффиксов $LCP$$LCP[i]$$SA[i-1]$$SA[i]$$S$ когда они расположены в лексикографическом порядке.

В качестве примера рассмотрим строку . Суффиксы в лексикографическом порядке должны быть { a , a b b a b c a , a b c a , b a b c для массива с 1 индексом. Л С $S = abbabca$ , поэтому S A = [ 7 , $\{a, abbabca, abca, babca, bbabca, bca, ca\}$.массив будет Ь С Р = [ - , 1 , 2 , 0 , 1 , 1 , 0 $SA = [7, 1, 4, 3, 2, 5, 6]$$LCP$$LCP = [-, 1, 2, 0, 1, 1, 0]$

Теперь, учитывая две строки и B , мы объединяем их как S = A # B , где $A$$B$$S = A\#B$$\#$ это символ не присутствует в обоих и B . Причина выбора такого символа заключается в том, что при вычислении LCP из двух суффиксов, скажем, a b # $A$$B$ и a b $ab\#dabd$$abd$ , сравнение прервется в конце первой строки (поскольку это происходит только один раз, два разных суффикса никогда не будут иметь его в одной и той же позиции) и не будут «перетекать» в другую строку.

Теперь видно, что вы должны понимать, почему вам нужно видеть только последовательные значения в массиве L C P (аргумент основан на противоречии и том факте, что суффиксы в S A расположены в лексикографическом порядке). Продолжайте проверять L $LCP$$SA$массив P на максимальное значение, чтобысравниваемые два суффикса не принадлежали к одной и той же исходной строке. Если они не принадлежат одной и той же исходной строке (одна начинается в A, а другая в B ), то наибольшее такое значение - это длина наибольшей общей подстроки.$LCP$$A$$B$

В качестве примера рассмотрим и B = b c . Тогда S = a b c a b c # b c . Сортированные суффиксы: { a b c # b $A = abcabc$$B = bc$$S = abcabc\#bc$ . S $\{abc\#bc, abcabc\#bc, bc, bc\#bc, bcabc\#bc, c, c\#bc, cabc\#bc\}$
$\begin{align*} SA &= [4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3, 7] \\ LCP &= [-, 3, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 0] \end{align*}$

Теперь, наибольшее значение , но это для S A [ 1 ] и S A [ 2 ] , оба из которых начинаются в строке A . Итак, мы игнорируем это. С другой стороны, L C P [ 4 ] = 2 для S A [ 3 ] (соответствует суффиксу b $LCP[2] = 3$$SA[1]$$SA[2]$$A$$LCP[4] = 2$$SA[3]$$bc$ в ) и S A [ 4 $B$$SA[4]$(соответствует суффиксу в A ). Итак, это самая длинная общая подстрока между двумя строками. Для получения фактической подстроки вы берете подстроку длины 2 (значение наибольшей из возможных L C P ), начиная с S A [ 3 ] или S A [ 4 ] , то есть b c .$bcabc\#bc$$A$$2$ $LCP$$SA[3]$$SA[4]$$bc$

Алгоритм, который вы нашли в Интернете, не совсем верен. Как упомянул Пареш, это не удастся в приведенном им примере.

Однако, если вы проверяете, что при проверке LCP вы проверяете только LCP подстрок разных строк. Например, если вы находите LCS строк A и B, вам необходимо убедиться, что смежные записи суффиксного массива при проверке LCP не принадлежат одной и той же строке.

Подробнее здесь .

Я думаю, что что-то вроде алгоритма, который вы цитируете, должно действительно работать, если символ, который не является частью набора символов, используется в качестве разделителя, а массивы суффиксов / префиксов построены так, чтобы исключения всех строк, содержащих разделитель, вероятно, намерение дизайнер. это в основном эквивалентно созданию массивов суффиксов / префиксов для двух отдельных строк.

было бы полезно для будущей ссылки, если вы разместили ссылку на алгоритм. обратите внимание, что в википедии есть алгоритм для этого в псевдокоде и многих других алгоритмах. и есть реализации на большинстве стандартных языков, доступных онлайн.