Интересная проблема по сортировке

Дана трубка с пронумерованными шариками (случайно). Трубка имеет отверстия для удаления шарика. Рассмотрим следующие шаги для одной операции:

1. Вы можете выбрать один или несколько шариков из отверстий и запомнить порядок, в котором вы выбрали шарики.
2. Вам нужно наклонить трубу влево, чтобы оставшиеся шарики в трубе сместились влево и заняли пустое пространство, созданное удалением шариков.
3. Вы не должны изменять порядок, в котором вы выбрали пронумерованные шары из трубы. Теперь вы снова помещаете их в трубу, используя свободное пространство, созданное движением шариков.

Шаги с 1 по 3 рассматриваются как одна операция.

Узнайте минимальные операции, необходимые для сортировки пронумерованных шаров в порядке возрастания.

Например: если трубка содержит:$[1\ 4\ 2\ 3\ 5\ 6]$

Тогда мы можем вынуть и и , и если мы наклоним трубу влево, мы получим и вставим в этом порядке до конца трубы, чтобы получить .$4$$5$$6$$[1\ 2\ 3]$$(4\ 5\ 6)$$[1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6]$

Поэтому минимальное количество необходимых шагов - 1. Мне нужно найти минимальные операции для сортировки трубы.

Любые идеи или советы о том, как решить эту проблему?

Определите номер разбиения прогона перестановки , обозначенный r ( π ) , используя следующий процесс. Пусть k - максимальное целое число такое, что числа min ( π ) , … , k появляются в порядке возрастания в π . Удалите их из π и повторите процесс. Количество раундов, которое требуется, чтобы поглотить всю перестановку, равно r ( π ) .$\pi$$r(\pi)$$k$$\min(\pi),\ldots,k$$\pi$$\pi$$r(\pi)$

Например, давайте вычислим . Сначала мы откладываем 1 , чтобы получить 6273584 . Затем мы откладываем 234 , чтобы получить 6758 . Затем мы откладываем 5 , чтобы получить 678 . Наконец, мы выделяем 678, чтобы получить пустую перестановку. Это занимает четыре раунда, поэтому r ( 62735814 ) = 4 .$r(62735814)$$1$$6273584$$234$$6758$$5$$678$$678$$r(62735814) = 4$

Как это представление полезно для сортировки ? Сделайте каждый второй прогон, то есть 234 , 678 , и переместите эти числа вправо, чтобы получить 51627384 (отредактируйте: в порядке их появления в перестановке, то есть 627384 ). Теперь есть только два прогона, а именно 1234 , 5678 , и мы можем отсортировать список, переместив 5678 вправо.$62735814$$234,678$$51627384$$627384$$1234,5678$$5678$

Теперь позвольте мне сделать следующую гипотезу: Для перестановки пусть Π будет множеством всех перестановок, достижимых из π за один ход. Тогда min α ∈ Π r ( α ) = ⌈ r ( π ) / 2 ⌉ .$\pi$$\Pi$$\pi$$\min_{\alpha \in \Pi} r(\alpha) = \lceil r(\pi)/2 \rceil$

Учитывая эту гипотезу, легко показать, что минимальное число ходов, необходимое для сортировки перестановки равно ⌈ log 2 r ( π ) ⌉ , и я проверил эту формулу для всех перестановок в S n при n ≤ 8 .$\pi$$\lceil \log_2 r(\pi) \rceil$$S_n$$n \leq 8$

Изменить: Вот другая интерпретация числа разделов прогона, который дает линейный алгоритм времени для его вычисления, и позволяет мне набросать доказательство моей гипотезы, таким образом проверяя формулу .$\lceil \log_2 r(\pi) \rceil$

Рассмотрим перестановку раз. Причина того, что первый запуск заканчивается на 1, состоит в том, что 2 появляется перед 1 . Точно так же второй цикл заканчивается 4, так как 5 появляется перед 4 и так далее. Следовательно, номер разбиения прогона перестановки - это число i s, такое, что i + 1 появляется перед i .$62735814$$1$$2$$1$$4$$5$$4$$i$$i+1$$i$

Мы можем сформулировать это более кратко, если мы посмотрим на обратную перестановку. Рассмотрим снова . Возьмем π - 1 = 72485136 . Эта перестановка имеет три спуска: 7 2 48 5 1 36 (спуск - это позиция, меньшая, чем предыдущая). Каждый из спусков соответствует началу нового пробега. Таким образом, r ( π ) равно единице плюс количество спусков в π - 1 .$\pi = 62735814$$\pi^{-1} = 72485136$$7\mathbf{2}48\mathbf{5}\mathbf{1}36$$r(\pi)$$\pi^{-1}$

Как выглядит операция с точки зрения ? пусть B будет набором чисел, которые мы переместим вправо, а A будет набором чисел, которые останутся слева. Заменим числа в A перестановкой на { 1 , … , | A | } представляющий их относительный порядок, и замените числа в B перестановкой на { | A | + 1 , … , | A | + | Б | $\pi^{-1}$$B$$A$$A$$\{1,\ldots,|A|\}$$B$$\{|A|+1,\ldots,|A|+|B|\}$, Например, рассмотрим ход . С точки зрения обратных перестановок, это 7 248 5 136 46 2 468 1 357 . Таким образом, 75 был сопоставлен с 21, а 248136 был сопоставлен с 468357 .$\mathbf{6273}5\mathbf{8}1\mathbf{4} \mapsto 51\mathbf{627384}$$7\mathbf{248}5\mathbf{136} \mapsto 2\mathbf{468}1\mathbf{357}$$75$$21$$248136$$468357$

Спуск в П - 1 теряется после операции , только если х ∈ А и у ∈ B . Наоборот, в терминах π - 1 разбиение на A и B соответствует A- бегам и B- бегам; каждый раз, когда заканчивается B- бег и начинается A- бег, происходит спуск. Чтобы «убить» спуск, мы должны переключиться с A- бега на $\ldots xy \ldots$$\pi^{-1}$$x \in A$$y \in B$$\pi^{-1}$$A$$B$$A$$B$$B$$A$$A$$B$-бегать. Если мы убьем два спуска, мы переключимся посередине с бега на A- бег, неся спуск.$B$$A$

Этот аргумент может быть формализован, чтобы показать, что если возникает из π посредством операции, то d ( α - 1 ) ≥ ⌊ d ( π - 1 ) / 2 ⌋ , где d ( ⋅ ) - количество спусков. Это эквивалентно r ( α ) ≥ ⌈ r ( π ) / 2 $\alpha$$\pi$$d(\alpha^{-1}) \geq \lfloor d(\pi^{-1})/2 \rfloor$$d(\cdot)$$r(\alpha) \geq \lceil r(\pi)/2 \rceil$Таким образом, доказывая одно направление моей гипотезы. Другое направление проще, и об этом уже говорилось выше: мы просто берем каждый второй прогон и толкаем эти прогоны вправо, чтобы получить перестановку удовлетворяющую условию r ( α ) = ⌈ r ( π / 2 ) ⌉ .$\alpha$$r(\alpha) = \lceil r(\pi/2) \rceil$