Примеры сложных рекурсивных алгоритмов

Я объяснял известный детерминистический алгоритм линейного выбора времени ( алгоритм медианы медиан) другу.

Рекурсия в этом алгоритме (хотя и очень проста) довольно сложна. Есть два рекурсивных вызова, каждый с разными параметрами.

Я пытался найти другие примеры таких интересных рекурсивных алгоритмов, но не смог найти ни одного. Все рекурсивные алгоритмы, которые я мог придумать, являются либо простыми хвостовыми рекурсиями, либо простыми «разделяй и властвуй» (где два вызова «одинаковы»).

Можете ли вы привести несколько примеров сложной рекурсии?

Мое любимое повторение проявляется в чувствительных к выходу алгоритмах для вычисления выпуклых оболочек, сначала Киркпатрика и Зайделя , но позже повторенных другими. Обозначим через время вычисления выпуклой оболочки из n точек на плоскости, когда выпуклая оболочка имеет h вершин. (Значение h заранее неизвестно, кроме тривиальной границы h ≤ n .) Алгоритм Киркпатрика и Зайделя дает рекуррентность T ( n , h ) = { O ( n ), $T(n,h)$$n$$h$$h$$h\le n$ гдеn1,n2≤3n/4иn1+n2=nиh1+h2=h.

$$T(n,h) = \begin{cases} O(n) & \text{if }n \le 3 \text{ or } h \le 3 \\ T(n_1, h_1) + T(n_2, h_2) + O(n) & \text{otherwise} \end{cases}$$ $n_1, n_2 \le 3n/4$$n_1 + n_2 = n$$h_1 + h_2 = h$

Решение . Это немного удивительно, поскольку h не является параметром, делимым равномерно. Но на самом деле, наихудший случай рецидива случается, когда h 1 и h 2 равны h / 2 ; если каким-то волшебным образом h 1 всегда постоянен, решение будет T ( n , h ) = O ( n ) .$T(n,h) = O(n\log h)$$h$$h_1$$h_2$$h/2$$h_1$$T(n,h) = O(n)$

Я использовал вариант этого повторения в одной из моих первых работ по вычислительной топологии : где

$$T(n,g) = \begin{cases} O(n) & \text{if }n \le 3 \text{ or } g = 0\\ T(n_1, g_1) + T(n_2, g_2) + O(\min\{n_1, n_2\}) & \text{otherwise} \end{cases}$$ и g 1 + g 2 = g . Опять же, решением является O ( n log g ) , инаихудшийслучай возникает, когда n и g всегда делятся равномерно.$n_1 + n_2 = n$$g_1 + g_2 = g$$O(n\log g)$$n$$g$

Рекурсия, которую я использовал в своей статье «Алгоритм линейного времени для вычисления диаграммы Вороного выпуклого многоугольника» Аггарвала и др. , Также довольно сложна.

Вот описание алгоритма из нашей статьи. В случае, если из описания не ясно, на шаге 3 красные точки делятся на алые и гранатовые. Шаги 1, 3 и 6 - все линейное время. Мы также знаем, что если - общее количество точек, | Б | ≥ α n , | R | ≥ β n и | C | ≥ γ n для некоторого α , β , γ > 0 .$n$$|\mathrm{B}| \geq \alpha n$$|\mathrm{R}| \geq \beta n$$|\mathrm{C}| \geq \gamma n$$\alpha, \beta, \gamma > 0$

Я дам вам понять, почему весь алгоритм занимает линейное время.

1. Разбейте исходные точки на синие и красные множества B и R.
2. Рекурсивно вычислить выпуклую оболочку синих точек.
3. Используя структуру синего корпуса, выберите малиновые точки C.
4. Добавляйте багровые точки в синий корпус по одному.
5. Рекурсивно вычисляют выпуклую оболочку гранатовых точек G.
6. Объедините этот гранатовый корпус с расширенным синим корпусом шага 4.

Что делает алгоритм линейным, так это возможность добавлять фиксированную долю красных точек к синему корпусу при постоянных затратах на точку. Добавленные очки - это багровые очки.

$$T(n) = T(|B|) + T(|G|) + O(n)$$ $|B|$$|G|$$|B| + |G| \leq (1-\gamma) n$

Существует изменение в повторении медианного нахождения, которое исходит от поиска дальности с полуплоскостями. Само повторение имеет форму

что похоже на повторение по медиане. Подробнее об этом, см наконспектах Джеффа Эриксонаив частности Раздела 4.

$$T(n) = T(n/2) + T(n/4) + cn$$

Существует множество классных рекурсивных алгоритмов [1], [2], используемых при прогнозировании вторичной структуры РНК. Оставленный на свое усмотрение, нить РНК будет образовывать пары оснований с самим собой; один сравнительно простой пример из [3] вычисляет максимальное количество вложенных парных баз, с которыми будет образовываться строка РНК:

$M(i,j)=\underset{i\leq k < j - L_{min}}{max} \begin{cases} M(i,k-1)+ M(k+1, j-1)+1 \\M(i, j-1) \end{cases}$

---

1. Оптимальное компьютерное свертывание больших последовательностей РНК с использованием термодинамики и вспомогательной информации М. Цукера, П. Штиглера (1981)

2. Алгоритм динамического программирования для прогнозирования структуры РНК, включающей псевдоузлы , Э. Ривас, С.Р. Эдди (1999)

3. Быстрый алгоритм для предсказания вторичной структуры одноцепочечной РНК Р. Нусинов, А. Б. Якобсон (1980)

Я до сих пор не совсем понимаю, что вы имеете в виду под «сложной рекурсией». Например, шаг рекурсии в алгоритме FFT является сложным!

Но если вы хотите искать более сложную рекурсию, то взаимная рекурсия может быть одним из возможных ответов. Взаимная рекурсия полезна при работе с функциональными языками программирования . Взаимная рекурсия - ключевая особенность парсеров рекурсивного спуска .

Вне головы, функция МакКарти 91

F(N) = 
    n - 100    if n > 100
    F(F(n+11)) if n <= 100

и функция Аккермана

A(m, n) = 
    n + 1             if m = 0
    A(m-1, 1)         if m > 0 and n = 0
    A(m-1, A(m, n-1)) if m > 0 and n > 0

может считаться необычной, хотя и игрушечной, рекурсивной функцией.