В чем именно заключается семантическая разница между категорией и множеством?

11

В этом вопросе я спросил, в чем разница между набором и типом . Эти ответы действительно проясняются (например, @AndrejBauer), поэтому в своей жажде знаний я подчиняюсь искушению задать то же самое о категориях:

Каждый раз, когда я читаю о теории категорий (которая, по общему признанию, является довольно неформальной), я не могу понять, насколько она конкретно отличается от теории множеств .

Итак, самым конкретным возможным способом, что именно означает, что $x$ говорит, что он находится в категории , по сравнению с утверждением, что ? (например , в чем разница между высказыванием представляет собой группу, по сравнению с говоря , что находится в категории ?). $C$ $x\in S$ $x$ $x$ $\mathrm {Grp}$

(Вы можете выбрать любую категорию и набор, который делает сравнение наиболее понятным).

sets category-theory

— user56834
источник

Я не уверен, что этот вопрос правильно сформулирован. Сначала вы спрашиваете, в чем разница между утверждением о том, что «x в категории C» против «x в множестве S». Но затем вы даете пример запроса: «x находится в категории Grp» против «x - группа». Какая? Это не пример вашего вопроса. Пример вашего вопроса: какова разница между «x в категории Grp» и «x в наборе всех групп». Но даже тогда это не совсем то, что вы спрашиваете, если вы спрашиваете, каковы различия между категориями и наборами.

— Майлз Рут

11

Вкратце, теория множеств - это членство, а теория категорий - это структурно-сохраняющие преобразования.

Теория множеств - это только членство (т.е. элемент) и то, что может быть выражено через это (например, подмножество). Это не касается других свойств элементов или наборов.

Теория категорий - это способ рассказать о том, как математические структуры данного типа ¹ могут быть преобразованы друг в друга ^{2 с} помощью функций, которые сохраняют некоторый аспект их структуры; она обеспечивает равномерный язык для говоря большой диапазон типов ¹ математической структуры (групп, автоматы, векторные пространств, множеств, топологических пространств, ... и даже категории!) и отображение в пределах этих типов ¹ . Хотя он формализует свойства отображений между структурами (в действительности: между наборами, на которые накладывается структура), он имеет дело только с абстрактными свойствами карт и структур, называя их морфизмами (или стрелками ) и объектами.; элементы таких структурированных множеств не являются предметом теории категорий, равно как и структуры этих множеств. Вы спрашиваете « что это за теория »; это теория структурно-сохраняющих отображений математических объектов произвольного типа ¹ .

Однако теория абстрактных категорий ³ , как только что было сказано, полностью игнорирует множества, операции, отношения и аксиомы, определяющие структуру рассматриваемых объектов, и просто предоставляет язык, на котором можно говорить о том, как отображения, которые действительно сохраняют некоторую такую структуру вести себя: не зная, какая структура сохраняется, мы знаем, что комбинация двух таких карт также сохраняет структуру. По этой причине аксиомы теории категорий требуют, чтобы существовал закон ассоциативной композиции морфизмов и, аналогично, существовал морфизм тождества от каждого объекта к себе. Но это не предполагает, что морфизмы на самом деле являются функциями между множествами, просто они ведут себя как они.

Будут разработаны: конкретные категории моделируют идею добавления структуры к объектам «базовой категории»; когда это у нас может быть ситуация, когда мы добавляем структуру, как групповую операцию, в набор. В этом случае можно сказать больше о том, как структура добавляется в терминах конкретной базовой категории. $\mathsf{Set}$

Что касается последствий ваших формулировок , говоря, что « является группой», что « является элементом множества групп» (на самом деле правильный класс ) или что « является (объектом) в » ( или « -объект») означает то же самое логически, но разговор о категории предполагает, что вас интересуют групповые гомоморфизмы (морфизмы в ) и, возможно, их общее с другими морфизмами. С другой стороны, говоря $G$ $G$ $G$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $G$ Если группа может предположить, что вас интересует структура самой группы (ее операция умножения) или, возможно, то, как группа действует на какой-то другой математический объект. Вы вряд ли будете говорить о принадлежащем к набору групп, хотя вы могли бы легко написать для некоторого конкретного набора групп, которые вас интересуют. $G$ $G ∈ S$ $S$

Смотрите также

/math/tagged/category-theory?sort=votes
- В частности /math/272875/concrete-category-and-abstract-category#1774821
Конспект и Конкретные Категории: Радость Кошек Адамеком, Герлихом и Штрекером
https://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory
- https://en.wikipedia.org/wiki/Concrete_category

¹ _{Здесь и пассим я не имею в виду тип в смысле теории типов, а скорее набор свойств, требуемых от математических объектов / структур, то есть набор аксиом, которым они удовлетворяют. Обычно они описывают поведение некоторых операций или отношений над элементами наборов, рассматриваемых как несущие структуру, хотя в случае самих наборов ( ) нет структуры за пределами самих наборов. В любом случае, как сказано выше, теория категорий игнорирует детали этой структуры. $\mathsf{Set}$}

² _{Я , возможно , следует сказать , во все или часть друг друга : один позволяет гомоморфизм (целых) в (Рациональные) , приведенные . $\mathbb Z$ $\mathbb Q$ $n \mapsto \frac n 2$}

³ _{Без квалификации « категория » обычно означает «абстрактную категорию», введенную, насколько я вижу, в 1945 году и разработанную в 1960-х годах, в то время как конкретные категории, кажется, появляются в 1970-х годах.}

— PJTraill
источник

Я не уверен, было ли это риторическим, но определенно есть правильный класс групп. Например, каждый набор порождает тривиальную группу в единственном множестве, содержащем этот набор. Вы также можете создать правильный класс неизоморфных примеров.

— Дерек Элкинс покинул SE

Спасибо. Когда вы говорите: «это теория структурно-сохраняющих отображений математических объектов произвольного типа », вы имеете в виду «тип» в смысле теории типов или более неформально?

— user56834

@ Programmer2134: Извините, если вводит в заблуждение тип (я действительно задавался вопросом); Я не имею в виду ссылку на теорию типов (о которой я мало знаю), а скорее имею в виду математические объекты / структуры с определенным набором свойств (то есть удовлетворяющих определенным аксиомам) математическими объектами / структурами данного типа .

— PJTraill

Это проясняет. Итак, теория категорий также конкретно предполагает, что существуют такие аксиомы, и что все эти объекты удовлетворяют этим аксиомам, или это просто мета-критерий, который мы используем для определения категорий (то есть мета в рамках теории категорий)?

— user56834

@ Programmer2134: Нет, теория категорий полностью игнорирует аксиомы и просто предоставляет язык, на котором можно говорить о отображениях, которые действительно сохраняют некоторую такую структуру: не зная, какая структура сохраняется, мы знаем, что комбинация двух таких карт также сохраняет структуру. По этой причине аксиомы теории категорий требуют, чтобы существовал закон ассоциативной композиции морфизмов и, аналогично, существовал морфизм тождества от каждого объекта к себе. Но это не предполагает, что морфизмы на самом деле являются функциями между множествами, просто они ведут себя как они.

— PJTraill

5

$C$ $x$ $x$ $x$ $x$ $x$

$x$ $x$

— DW
источник

Итак, позвольте мне сравнить категории с наборами и типами, как @AndrejBrauer в своем ответе на другой мой вопрос. Множество формализует понятие коллекции объектов. Тип формализует понятие конструкции объектов. Какое понятие формализует «Категория»? Какой математический процесс / структура теории категорий теории о ?

— user56834

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

@ Programmer2134, это хороший момент. Имеет смысл. Я принимаю вашу точку зрения.

— DW

4

Еще один момент объяснения DW

$x$ $x$ $\mathsf{Grp}$

Я хотел бы сделать более сильное заявление:

Понятие определяется его категорией

$M$ $M$ $M_0$

$M$ $M$ $A \in M_0$ $B \in M_0$ $A$ $B$ $M(A,B)$

$M_0$ $M(A,B)$

Как только вы это сделаете, категория даст вам много свойств концепции по умолчанию. Примеры варьируются от

«какие случаи по существу одинаковы --- изоморфизм»,
«какой из этих двух экземпляров больше, а какой меньше - пара секция-отвод»,
«Сколько базовых элементов находится внутри этого экземпляра? --- homset из терминального объекта»

и так далее.

Что касается вопроса, который вы задаете в комментарии

Какой математический процесс / структура является теорией категории теории?

$\mathsf{Cat}$

— Апиват Чантавибул
источник

Хм. Я не совсем понимаю, как, если мы знаем категорию структуры, мы знаем все об этой структуре. Мы не знаем, каким аксиомам структура удовлетворяет, не так ли?

— user56834

@ Programmer2134 Хороший пример - переосмысление теории множеств Тома Ленстера (которое представляет собой краткое изложение работы Лаврера). Работа определяет саму теорию множеств путем определения свойств (морфизмов) категории множеств (без доступа «внутрь» каких-либо объектов для доступа к любому ранее существовавшему предположению о множествах.)

— Apiwat Chantawibul

То есть, вы говорите, что о теории множеств не теряется ничего, просто рассматривая категорию множеств, забывая ее аксиомы?

— user56834

@ Programmer2134 Да, на самом деле это больше похоже на аксиомы, которые определяют теорию множеств ZFC, переведенную в чисто свойства морфизмов. Таким образом, та категория, которую мы утверждаем, имеет некоторые свойства морфизмов, определяет теорию множеств.

— Апиват Чантавибул

Знаете ли вы текст, который конкретно объясняет этот пункт о теории категорий в ясной форме?

— user56834

1

наборы

x \in A

$x\in A$

$f$

(x, y) \in f and (x, z) \in f \Rightarrow y = z

$(x,y)\in f\text{ and }(x,z)\in f \Rightarrow y=z$

Философия. Наборы имеют внутреннюю структуру - они полностью определяются своими элементами.

Замечание. Аксиоматическая система, широко используемая теоретиками множеств, - это ZFC. Его сила в простоте: есть только наборы и членские отношения. С другой стороны, многие математики считают, что это приводит к концепции множеств, которая расходится с их пониманием и использованием множеств (сравните ниже, Leinster ). Фактически, подавляющее большинство математиков (кроме теоретиков множеств), похоже, не используют аксиомы ZFC. Однако наборы не обязательно относятся к ZFC (см. Ниже категории и ETCS).

категории

A \to B

$A\rightarrow B$

$x\in A$ $\{y\})$

x : 1 \to A

$x:1\rightarrow A$

Философия. Объекты категории априори не имеют внутренней структуры. Они просто характеризуются своими отношениями (морфизмами) к другим объектам.

Замечание. Основное понятие категорий - функция, и это совпадает с использованием множеств подавляющим большинством математиков. Поэтому вы можете рассматривать категории как концептуальное обобщение того, как (большинство) математиков из самых разных областей используют наборы в своей повседневной работе. Помимо категорий (и топосов) в качестве обобщения вы можете взглянуть на аксиоматическую систему ETCS, которая является аксиоматизирующим множеством (сравните ниже Лейнстер и Лавре ).

Вопрос. В чем разница между утверждением, что x является группой, и тем, что x входит в категорию Grp?

$x$ $x$

Критики

В случае ZFC и ETCS эти подходы могут быть преобразованы друг в друга, хотя ETCS слабее, чем ZFC, но (по-видимому) охватывает большую часть математики (см. MathStackExchange и Leinster). В принципе (используя расширение ETCS) вы можете доказать одинаковые результаты с обоими подходами. Таким образом, вышеупомянутая философия обоих понятий не претендует на фундаментальное различие в том, что вы можете выразить или какие результаты вы можете доказать.

Выражения набор и статус в ZFC являются абстрактными понятиями, как и понятия категорий или любой другой аксиоматической системы и может означать что угодно. Таким образом, с этой формальной точки зрения утверждать, что ZFC касается внутренней структуры множеств, тогда как категории имеют дело с внешними отношениями объектов друг к другу, кажется неуместным. С другой стороны, это, кажется, философия или интуиция относящихся к теории.

Однако на практике вы предпочтете определенный подход, например, для ясности или простоты или потому, что какая-то концепция или связь с другой областью развивается более естественно, чем где-либо еще.

Ссылки

Спивак. Теория категорий для ученых

Лейнстер. Переосмысление теории множеств

Лаврэ. Элементарная теория категории множеств

MathStackExchange.Category теория без множеств

— FWE
источник