Ограниченная проблема остановки разрешима. Почему это не противоречит теореме Райс?

Одно из утверждений о теореме Райса приведено на странице 35 «Вычислительная сложность: современный подход» (Арора-Барак):

Частичная функция от до - это функция, которая не обязательно определяется на всех ее входах. Мы говорим, что TM вычисляет частичную функцию если для каждого для которого определено , и для каждого для которого не определено, попадает в бесконечный цикл при выполнении на входе . Если - это набор частичных функций, мы определяем как булеву функцию, которая на входах выводит 1 тогда и только тогда, когда { 0 , 1 } ∗ M f x f M ( x ) = f ( x ) x f M x S f S α M $\{0,1\}^*$$\{0,1\}^*$$M$$f$$x$$f$$M(x) = f(x)$$x$$f$$M$$x$$S$$f_S$$\alpha$$M_\alpha$вычисляет частичную функцию в . Теорема Райса говорит, что для любого нетривиального функция не вычислима.$S$f $S$$f_S$

Википедия утверждает, что языки машин ограниченного времени ТУЗЫ полны. Я ожидаю, что этот язык выглядит примерно так: принимает менее чем за шагов . Итак, пусть это некоторый DTM, который решает этот ограниченный язык за экспоненциальное время. Кажется, что этот DTM решает какое-то свойство для ВСЕХ машин Тьюринга, поэтому моя интуиция говорит мне, что теорема Райс исключает такое решение. Но, очевидно, вычисляет общую функцию. x n } M $\{(\alpha,x,n) : M_\alpha$$x$$n$$\}$$M$$M$

Чего мне не хватает в связи между этим языком и теоремой Райс?

Язык

$\qquad \{(α,x,n):M_α \text{ accepts } x \text{ in less than } n \text{ steps}\}$

это не набор индексов, то есть он не имеет форму

$\qquad L_P = \{ \langle M \rangle \mid M \text{ is TM},\ \exists\, f \in P.\ f_M = f \}$

для некоторого множества (частично рекурсивные) функций , с (частичные) функции вычисляются TM . Теорема Райс делает утверждения только о таком ; многие «интуитивные» перефразирования не помогают. Смотрите также здесь .е М М Л $P$$f_M$$M$$L_P$

Обратите внимание, что это не только техническая деталь здесь. Теорема Райса не относится к

$\qquad L = \{ \langle M \rangle \mid M \text{ accepts } \langle M \rangle \text{ in less than } \langle M \rangle \text{ steps} \}$ ,

или. Вы понимаете почему?

Для каждой машины в вы можете легко построить много машин , которые принимают один и тот же язык , но работать более шагов, и , таким образом , не в . Таким образом, не является индексом.⟨ M ⟩ л $L$$\langle M \rangle$$L$$L$

$L$ разрешима, используя тот же аргумент, что и для исходного языка, который мы обсуждаем.

Теорема Райса говорит, что вы ничего не можете сказать об окончательном поведении программы, когда ее оставляют запускать до бесконечности - независимо от того, как вы классифицируете программы, будут две программы, которые будут сходиться к одному и тому же конечному поведению (вычисляемая функция ) хотя вы их классифицировали по разному.

Но важно, чтобы программы запускались до бесконечности. Чтобы выяснить, что они делают на первых шагах, вы можете просто смоделировать их на первых шагах, а затем прекратить давать свой вердикт о том, как ведет себя программа. Подобное моделирование до бесконечности не работает, потому что если симулируемая программа никогда не заканчивается на симулированном входе, ваш классификатор также будет расходиться вместо предоставления классификации.$n$$n$

Во-первых, слова на вашем языке не являются кодировками машин, они содержат больше информации, поэтому вы не можете напрямую применять теорему Райса. Тем не менее, теорема Райса говорит о невозможности рассуждения о функции, вычисляемой машиной Тьюринга (а именно, лежит ли она в некотором множестве ). Это не тот случай, поскольку, как упоминал Рафаэль, существуют две машины которые вычисляют одну и ту же функцию, но одна лежит на вашем языке, а другая нет (здесь я игнорирую синтаксическую проблему и забываю о тот факт, что являются частью ввода). Дело в том, что свойство, которое вы здесь просматриваете, является механическим, а не семантическим (машины могут вычислять одну и ту же функцию, но другим способом).M , M ′ x , $S$$M,M'$$x,n$

Теорема Райса говорит, что для любого нетривиального множества языков множество машин Тьюринга, которые распознают язык в  , неразрешимо. Википедия говорит, что конкретный язык является разрешимым. Так что нет никакого противоречия.$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$