Почему

Я хотел бы знать, есть ли правило, чтобы доказать это. Например, если я использую закон распределения, я получу только $(A \lor A) \land (A \lor \neg B)$ .

Я считаю, что картинки отлично подходят для чего-нибудь достаточно простого, чтобы использовать их, что это такое.

Помнить:

И означает область, занятую обеими вещами. Таким образом, средний - это то, что принимается снаружи B, но также и внутри A. Их соединение не учитывается, потому что оно находится внутри A, но не снаружи B.

ИЛИ означает, что он покрыт одним или обоими. Оба они покрывают часть A, которая находится за пределами B, и место соединения покрыто A (первое изображение), поэтому он также считается. В общем, у вас просто снова есть.

Извините, если это слишком упрощенно, не уверен, на каком уровне вы находитесь.

Есть много способов увидеть это. Одним из них является таблица правды. Другое - использовать правило распределения:

Я бы использовал свое наименее любимое правило вывода: устранение дизъюнкции . В основном это говорит о том, что если следует из , а следует из , то должно быть истинным, если :P R Q R P ∨ Q ( P → R ) , ( Q → R ) , ( P ∨ Q ) ⊢ $R$$P$$R$$Q$$R$$P \vee Q$

Итак, давайте предположим, что . Установите , , и примените правило:$A \lor (A \land \neg B)$$P = A$$Q = A \land \neg B$$R = A$

• Если ( ), мы закончили.$P$$= A$
• Если то (путем исключения конъюнкции )$Q = A \land \neg B$$A$$S \land T \vdash S$
• По ликвидации дизъюнкции .$A \lor (A \land \neg B) \to A$

Обратное тривиально: предположим , затем одним из вариантов введения конъюнкции ( для любого ) .$A$$S \vdash S \lor T$$T$$A \to A \lor (\cdots)$

Вот схема этого доказательства:

Обратите внимание , что, когда мы знаем , что означает , мы имеем . Это аналогично получению объединения множества (соответствующего ) и одного из его подмножеств ( ): мы получаем наибольшее множество ( ).$C$$D$$C \lor D = D$$D$$C$$D$

В вашем случае и , и импликация тривиальна.D = $C = A \land \lnot B$$D = A$

Более интуитивно понятный вид:

Aэто всегда верно , когда Aэто правда.

A & -Bэто только справедливо , когда Aэто правда.

Интуитивно понятно, что применение ИЛИ к этим двум приведет к результату, Cкоторый всегда истинен, когда Aистинен. Таким образом, Cвсегда верно, когда Aэто правда.

(Прекратите читать здесь, если это объяснение работает для вас.)

Вот как я думаю об этой проблеме. Однако это объяснение не является полным, поскольку все, что мы показали, это то, что A -> Cнет A <-> C.

Итак, давайте также покажем это C -> A.

Aэто всегда ложь , когда Aложь.

A & -Bэто всегда ложь , когда Aложь.

Интуитивно понятно, что применение ИЛИ к этим двум приведет к результату, Cкоторый всегда ложен, когда Aложен. Таким образом, Cвсегда ложно, когда Aложно; -A -> -C, что то же самое, что и C -> A.

Так A -> Cи C -> Aтак A <-> C.

Иногда людей смущают буквы. Людям нравится еда, потому что об этом легко думать.

Представьте, что я прошу вас подбросить монету, чтобы выбрать между одним ИЛИ другим из следующих двух вариантов:

• Яблоко, ИЛИ ...
• Яблоко, и определенно нет банана.

[Первый равен «А», второй «А, а не В». Но не думай о письмах. Подумайте о яблоке, и получите ли вы также банан.]

Этот первый действительно означает «яблочный пиршество, и, возможно, вы получите банан».

Таким образом, оставить что-то - то же самое, что сказать «возможно».

Рассматривая их как пару, в зависимости от того, что вы получите, определенно будет вовлечена Apple. Ура. И если ваш флип-флип выберет правильный, вы можете получить банан.

Но разве это не то же самое, что сказать «может быть, вы получите банан»? Просто с половиной вероятности?

Таким образом, все, что вы можете определенно логически сказать, вы получите Apple. Вы не можете ничего сказать о том, получите ли вы банан.

Похоже на ответ Ювала Фильмуса. Использование булевой алгебры в инженерных представлениях и факторизация (или факторизация) из A.

$A+A\cdot\bar B=A\cdot(1+\bar B)=A\cdot1=A$

Кажется, что никто еще не упомянул об этом, поэтому я продолжу.

Закон для решения подобных проблем - это закон поглощения, который гласит, что pv (p ^ q) = p, а также что p ^ (pvq) = p. Если вы попытаетесь использовать дистрибутивное право в этом отношении, это будет держать вас в кругу навсегда:

(A v A) ^ (A v ~ B) = A ^ (A v ~ B) = (A ^ A) v (A ^ ~ B) = A v (A ^ ~ B) = (A v A) ^ (A v ~ B)

Я использовал неправильный символ для «нет» и «равно», но суть здесь в том, что, когда вы идете кругами / когда есть и / или несоответствие, как правило, вам следует обратить внимание на закон об абсорбции.

B не имеет отношения к результату, как вы заметите, если поместить это в таблицу истинности.

Еще один интуитивный способ взглянуть на это:

Если A является множеством, то мы можем сказать, что любой данный объект либо (в A), либо (не в A).

Теперь посмотрите на S = A или (A, а не B) :

• Если объект находится в A, то «A или что-нибудь» содержит все элементы в A, поэтому объект также будет в S.

• Если объект не находится в A, то «A и все» исключает все элементы, не входящие в A, поэтому объект не находится ни в A, ни в (A и не B), поэтому его нет в S.

Таким образом, в результате любой объект в A находится в S, а любой объект не в A - не в S. Таким образом, объекты в S должны быть точно такими же, как в A, и никакими другими объектами.

Когда два набора имеют идентичные элементы, они определяются как один и тот же набор. Так A = S.

Простой метод, который вы всегда можете использовать, если вы застряли, это анализ случая.

$A$

$A$

$A$

lets consider: 
  1) A as 1 and B as 0. 
  2) A as 0 and B as 1. 
  3) A as 1 and B as 1.
  4) A as 0 and B as 0.

using the first scenario : A or (A and !B) => 1 or ( 1 and 1) => 1 0r 1 => 1
using the second scenario: A or (A and !B) => 0 or ( 0 and 0) => 0 or 0 => 0
using the third scenario : A or (A and !B) => 1 or ( 1 and 0) => 1 or 0 => 1
using the fourth scenario: A or (A and !B) => 0 or ( 0 and 1) => 0 or 0 => 0

From the above four cases, the result always depends on A not on B, so the result is A.