Почему


22

Я хотел бы знать, есть ли правило, чтобы доказать это. Например, если я использую закон распределения, я получу только (AA)(A¬B) .


2
Добро пожаловать в информатику! Что вы пробовали? Где вы застряли? Мы не хотим просто передать вам решение; Мы хотим, чтобы вы получили понимание. Однако, поскольку мы не знаем, в чем заключается ваша основная проблема, мы не можем помочь. Смотрите здесь советы по заданию вопросов о проблемах с физическими упражнениями. Если вы не уверены, как улучшить свой вопрос, почему бы не спросить в чате Computer Science Chat ?
Рафаэль

Быть правдой необходимо в обоих условиях и достаточно для того, что слева.
Милли Смит

Ответы:


55

Я считаю, что картинки отлично подходят для чего-нибудь достаточно простого, чтобы использовать их, что это такое.

Предоставленная схема

Помнить:

И означает область, занятую обеими вещами. Таким образом, средний - это то, что принимается снаружи B, но также и внутри A. Их соединение не учитывается, потому что оно находится внутри A, но не снаружи B.

ИЛИ означает, что он покрыт одним или обоими. Оба они покрывают часть A, которая находится за пределами B, и место соединения покрыто A (первое изображение), поэтому он также считается. В общем, у вас просто снова есть.

Извините, если это слишком упрощенно, не уверен, на каком уровне вы находитесь.


Для полноты
Эрик

11
@EricDuminil Я не согласен. Самое замечательное в этой работе диаграммы Венна состоит в том, что она действительна независимо от того, пусты ли какие-либо регионы.
Марк С.

3
+1 к ответу Марка С. Что касается диаграмм Венна, и причина, по которой они все еще (я надеюсь!) Преподаются на уроках математики в средней школе, заключается в том, что они действительно работают . Если вы (Эрик) задаетесь вопросом «а что, если B и A не пересекаются? ...», то вы еще не поняли, что на самом деле представляет диаграмма Венна. Он представляет четыре логические возможности в виде четырех геометрических областей: (A & B) [средний клин], (A & ~ B) [левый полумесяц], (~ A & B) [правый полумесяц] и (~ A & ~ B) [остальная часть страница]. Раскрасив их, как это сделала Эрин, мы можем представить логическую проблему как геометрическую проблему.
Quuxplusone

@EricDuminil (предназначен для тех, кто читает это в будущем), если они не пересекаются, средний будет просто A (нет части A внутри B), поэтому у вас есть A или A = A, и если A = B, средний будет пустым (ни одна часть А не находится за пределами В), поэтому у вас будет А или ничего = А
Эрин

1
@djechlin: я устал Если A - B, вы можете игнорировать как левую, так и правую части.
Эрик

48

Есть много способов увидеть это. Одним из них является таблица правды. Другое - использовать правило распределения:

A(A¬B)=(A)(A¬B)=A(¬B)=A=A.

На втором шаге разве этот знак равенства не должен означать отношение эквивалентности?
KumarAnkit

Я использую = в своем обычном значении, как в 2 + 2 = 4.
Юваль Фильмус

хорошо, вы можете объяснить переход второго шага к третьему шагу?
KumarAnkit

9

Я бы использовал свое наименее любимое правило вывода: устранение дизъюнкции . В основном это говорит о том, что если следует из , а следует из , то должно быть истинным, если :P R Q R P Q ( P R ) , ( Q R ) , ( P Q ) RRPRQRPQ

(PR),(QR),(PQ)R

Итак, давайте предположим, что . Установите , , и примените правило:A(A¬B)P=AQ=A¬BR=A

  • Если ( ), мы закончили.P=A
  • Если то (путем исключения конъюнкции )Q=A¬BASTS
  • По ликвидации дизъюнкции .A(A¬B)A

Обратное тривиально: предположим , затем одним из вариантов введения конъюнкции ( для любого ) .ASSTTAA()

Вот схема этого доказательства:

Предоставленное доказательство


4
Извините, как вы нарисовали эту диаграмму? Я чувствую слабый запах Coq.
Тобиа Тесан

1
@TobiaTesan Я был тем, кто "нарисовал" диаграмму. Я использовал программное обеспечение под названием Slate, чтобы сделать это.
Sriotchilism O'Zaic

1
@EpsilonNeighborhoodWatch: большое спасибо. Извините за дальнейшее злоупотребление вашим терпением, но можно ли получить это программное обеспечение каким-либо образом? Ссылка на заголовок (www.cogsci.rpi.edu/slate) кажется мертвой
Tobia Tesan

@TobiaTesan Microsoft Visio также можно использовать для рисования подобных диаграмм. Если вы связаны с университетом или крупной компанией, предлагающей программное обеспечение Microsoft студентам / сотрудникам, или у вас есть подписка MSDN, возможно, у вас уже есть платный доступ к ней.
Nat

@Nat Sure (или вы можете сделать это в TikZ: P), но у меня сложилось впечатление, что у вещи, используемой EpsilonNeighborhoodWatch, есть функции ассистента доказательства, отсюда и мой интерес :) FWIW Proof General может сделать что-то подобное , но визуализация дерева доказательств намного страшнее.
Тобиа Тесан

5

Обратите внимание , что, когда мы знаем , что означает , мы имеем . Это аналогично получению объединения множества (соответствующего ) и одного из его подмножеств ( ): мы получаем наибольшее множество ( ).CDCD=DDCD

В вашем случае и , и импликация тривиальна.D = AC=A¬BD=A


3

Более интуитивно понятный вид:

Aэто всегда верно , когда Aэто правда.

A & -Bэто только справедливо , когда Aэто правда.

Интуитивно понятно, что применение ИЛИ к этим двум приведет к результату, Cкоторый всегда истинен, когда Aистинен. Таким образом, Cвсегда верно, когда Aэто правда.

(Прекратите читать здесь, если это объяснение работает для вас.)

Вот как я думаю об этой проблеме. Однако это объяснение не является полным, поскольку все, что мы показали, это то, что A -> Cнет A <-> C.

Итак, давайте также покажем это C -> A.

Aэто всегда ложь , когда Aложь.

A & -Bэто всегда ложь , когда Aложь.

Интуитивно понятно, что применение ИЛИ к этим двум приведет к результату, Cкоторый всегда ложен, когда Aложен. Таким образом, Cвсегда ложно, когда Aложно; -A -> -C, что то же самое, что и C -> A.

Так A -> Cи C -> Aтак A <-> C.


3

Иногда людей смущают буквы. Людям нравится еда, потому что об этом легко думать.

Представьте, что я прошу вас подбросить монету, чтобы выбрать между одним ИЛИ другим из следующих двух вариантов:

  • Яблоко, ИЛИ ...
  • Яблоко, и определенно нет банана.

[Первый равен «А», второй «А, а не В». Но не думай о письмах. Подумайте о яблоке, и получите ли вы также банан.]

Этот первый действительно означает «яблочный пиршество, и, возможно, вы получите банан».

Таким образом, оставить что-то - то же самое, что сказать «возможно».

Рассматривая их как пару, в зависимости от того, что вы получите, определенно будет вовлечена Apple. Ура. И если ваш флип-флип выберет правильный, вы можете получить банан.

Но разве это не то же самое, что сказать «может быть, вы получите банан»? Просто с половиной вероятности?

Таким образом, все, что вы можете определенно логически сказать, вы получите Apple. Вы не можете ничего сказать о том, получите ли вы банан.


3

Похоже на ответ Ювала Фильмуса. Использование булевой алгебры в инженерных представлениях и факторизация (или факторизация) из A.

A+AB¯=A(1+B¯)=A1=A


3

Кажется, что никто еще не упомянул об этом, поэтому я продолжу.

Закон для решения подобных проблем - это закон поглощения, который гласит, что pv (p ^ q) = p, а также что p ^ (pvq) = p. Если вы попытаетесь использовать дистрибутивное право в этом отношении, это будет держать вас в кругу навсегда:

(A v A) ^ (A v ~ B) = A ^ (A v ~ B) = (A ^ A) v (A ^ ~ B) = A v (A ^ ~ B) = (A v A) ^ (A v ~ B)

Я использовал неправильный символ для «нет» и «равно», но суть здесь в том, что, когда вы идете кругами / когда есть и / или несоответствие, как правило, вам следует обратить внимание на закон об абсорбции.

B не имеет отношения к результату, как вы заметите, если поместить это в таблицу истинности.


Это хорошо сочетается с ответом от яблока и банана
Эрин

1
@Erin +1 Кроме того, он предоставляет правило, в то время как ответ на вопрос о яблоке и банане апеллирует только к интуиции, а ОП просит правило, а не интуицию.
Рози Ф

2

Еще один интуитивный способ взглянуть на это:

Если A является множеством, то мы можем сказать, что любой данный объект либо (в A), либо (не в A).

Теперь посмотрите на S = A или (A, а не B) :

  • Если объект находится в A, то «A или что-нибудь» содержит все элементы в A, поэтому объект также будет в S.

  • Если объект не находится в A, то «A и все» исключает все элементы, не входящие в A, поэтому объект не находится ни в A, ни в (A и не B), поэтому его нет в S.

Таким образом, в результате любой объект в A находится в S, а любой объект не в A - не в S. Таким образом, объекты в S должны быть точно такими же, как в A, и никакими другими объектами.

Когда два набора имеют идентичные элементы, они определяются как один и тот же набор. Так A = S.



0
lets consider: 
  1) A as 1 and B as 0. 
  2) A as 0 and B as 1. 
  3) A as 1 and B as 1.
  4) A as 0 and B as 0.

using the first scenario : A or (A and !B) => 1 or ( 1 and 1) => 1 0r 1 => 1
using the second scenario: A or (A and !B) => 0 or ( 0 and 0) => 0 or 0 => 0
using the third scenario : A or (A and !B) => 1 or ( 1 and 0) => 1 or 0 => 1
using the fourth scenario: A or (A and !B) => 0 or ( 0 and 1) => 0 or 0 => 0

From the above four cases, the result always depends on A not on B, so the result is A.
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.