Легкое доказательство того, что контекстно-зависимые языки закрываются при циклическом сдвиге

Циклический сдвиг (также называемый поворот или конъюгации ) из языка определяется как { у х | х у ∈ L } . Согласно википедии (и здесь ), контекстно-свободные языки закрыты для этой операции со ссылками на статьи из Oshiba и Maslov. Есть ли простое доказательство этого факта?$L$$\{ yx \mid xy \in L \}$

Для обычных языков закрытие обсуждается в этой форме как « Докажите, что регулярные языки закрыты под оператором цикла ».

Вы можете попробовать воспользоваться автоматом. Получив автомат для исходного языка, мы строим его для циклического сдвига. Новый автомат работает в два этапа, соответствующих $y$ и $x$ части слова $yx$ (где $xy$ на языке оригинала). На первом этапе, всякий раз, когда автомат хочет выдвинуть нетерминал $A$ , он может вместо этого нажать нетерминал $A'$ ; идея состоит в том, что в конце первого этапа стек будет содержать в обратном порядке символы, которые находятся в стеке после чтения $x$оригинальным автоматом. На втором этапе (переключатель недетерминирован), вместо нажатия на нетерминал $A$ , нам разрешено выталкивать нетерминал $A'$ . Если оригинальный автомат действительно может сгенерировать стек после чтения $x$ , то новый сможет точно вытолкнуть весь стек.

Изменить: вот еще несколько деталей. Предположим, нам дан КПК с алфавитом , набором состояний Q , набором принимающих состояний F , нетерминалами Γ , начальным состоянием q 0 и набором допустимых переходов. Каждый допустимый переход имеет вид ( q , a , A , q ′ , α ) , что означает, что в состоянии q при чтении a ∈ A (или a = ϵ , в этом случае это свободный переход), если верх стека A $\Sigma$$Q$$F$$\Gamma$$q_0$$(q,a,A,q',\alpha)$$q$$a \in A$$a = \epsilon$ (или A = ϵ , что означает, что стек пуст), тогда КПК может (это недетерминированная модель) перейти в состояние q ′ , заменив A на α ∈ Γ ∗ .$A \in \Gamma$$A = \epsilon$$q'$$A$$\alpha \in \Gamma^*$

Новый КПК имеет новый нетерминал для каждого A ∈ Γ . Для каждых двух состояний q , q ′ ∈ Q и A ∈ Γ ∪ { ϵ } существуют два состояния ( q , q ′ , 1 ) , ( q , q ′ , 2 , A ) . Исходные состояния (выбирается фактическое начальное состояние недетерминированно среди них с помощью ε - переходов) , являются $A'$$A \in \Gamma$$q,q' \in Q$$A \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$$(q,q',1),(q,q',2,A)$$\epsilon$$(q,q,1)$$(q,a,A,q',\alpha)$( ( q , q ″ , 2 , B ) , a , A , ( q ′ , q ″ , 2 , Б ) , а $((q,q'',1),a,A,(q',q'',1),\alpha)$$((q,q'',2,B),a,A,(q',q'',2,B),\alpha)$

Для каждого перехода существуют переходы , где и . Для каждого конечного состояния существуют переходы , где .( ( q , q ″ , 1 ) , a , B ′ , ( q ′ , q ″ , 1 ) , B ′ A ′ α ) B ∈ Γ ∪ { ϵ } ε ' = ε д ∈ F ( ( д $(q,a,A,q',\alpha)$$((q,q'',1),a,B',(q',q'',1),B'A'\alpha)$$B \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$$\epsilon' = \epsilon$$q \in F$A ∈ Γ ∪ { ϵ $((q,q'',1),\epsilon,A,(q_0,q'',2,\epsilon),A)$$A \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$

Для каждого перехода существуют переходы , где . Для каждого перехода существуют переходы , где . Для каждого перехода существуют «обобщенные переходы» ; они реализованы в виде последовательности двух переходов через новое промежуточное состояние. Переходы\ alpha) с( ( q , q ″ , 2 , A ) , a , B ′ , ( q ′ , q ″ , 2 , A ) , B ′ α ) A ∈ Γ ∪ { ϵ } ( q , a , ϵ , q $(q,a,\epsilon,q',\alpha)$$((q,q'',2,A),a,B',(q',q'',2,A),B'\alpha)$$A \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$( ( q , q ″ , 2 , B ) , a , A ′ , ( q ′ , q ″ , 2 , A ) , ϵ ) B ∈ Γ ∪ { ϵ } ( q , a , A , q ′ , B ) ( ( q , q ″ , $(q,a,\epsilon,q',A)$$((q,q'',2,B),a,A',(q',q'',2,A),\epsilon)$$B \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$$(q,a,A,q',B)$( q , a , ϵ , q ′ , α ) | α | ≥ 2 ( q , a , A , q ′ , A ) ( ( q , q ″ , 2 $((q,q'',2,C),a,B'A,(q,q'',2,C),\epsilon)$$(q,a,\epsilon,q',\alpha)$$|\alpha| \geq 2$обрабатываются аналогично. Для каждого перехода существуют переходы , где . Переходы обрабатываются аналогично. Наконец, существует единственное конечное состояние и переходы .$(q,a,A,q',A)$B ∈ Γ ′ ∪ { ϵ } ( q , a , A , q ′ , A α ) f ( ( q , q , 2 , А ) , ϵ , ϵ , f , $((q,q'',2,A),a,B,(q',q'',2,A),B)$$B \in \Gamma' \cup \{\epsilon\}$$(q,a,A,q',A\alpha)$$f$$((q,q,2,A),\epsilon,\epsilon,f,\epsilon)$

(Там может быть несколько переходов, которые я пропустил, и некоторые детали, которые я опускаю, несколько беспорядочные.)

Напомним, мы пытаемся принять слово , где принимается оригинальным КПК. Состояние означает, что мы находимся на этапе 1, в состоянии , а исходный КПК находится в состоянии после чтения . Состояние аналогично, где соответствует последнему который был вытолкнут. На этапе 1, мы имеем право выдвинуть вместо того , чтобы хлопать . Мы делаем это для каждого нетерминала, который создается при обработке , но выталкивается только при обработке . На 2 -й ступени, нам позволено соватьx y ( q , q ′ , 1 ) q q ′ x ( q , q ′ , 2 , A ) A A ′ A ′ A x y A ′ A A ϵ B $yx$$xy$$(q,q',1)$$q$$q'$$x$$(q,q',2,A)$$A$$A'$$A'$$A$$x$$y$$A'$вместо того, чтобы нажимать . Если мы сделаем это, тогда мы должны помнить, что вершина акции действительно ; это применимо только в том случае, если в стеке нет «временных» объектов, которые в моделируемом КПК совпадают с вершинами стека или в форме .$A$$A$$\epsilon$$B'$

Вот простой пример. Рассмотрим автомат для который толкает для каждого и выдает для каждого . Новый автомат принимает слова двух форм: и . Для слов первой формы, 1 -й ступени состоит из толкая раз«2 -й ступени состоит из выскакивают раз , толкая раз , и выскакивают раз . Для слов второй формы мы сначала нажимаем раз A x A y y k x n y n - k x k y n x n - k k A ′ k A ′ n - k A n - k A k A k A n - k A ′ n - k $x^n y^n$$A$$x$$A$$y$$y^k x^n y^{n-k}$$x^k y^n x^{n-k}$$k$$A'$$k$$A'$$n-k$$A$$n-k$$A$$k$$A$, затем нажмите раз , нажмите раз , перейдите к этапу 2 и нажмите раз .$k$$A$$n-k$$A'$$n-k$$A'$

Вот более сложный пример для языка сбалансированных скобок различных типов ("()", "[]", "<>"), так что непосредственные потомки каждого типа скобок должны принадлежать к другому типу. Например, «([] <>)» в порядке, но «()» неверно. Для каждого «(», мы помещаем если стек топ-не , для каждого «)», мы выскочить . Аналогично , ассоциируются с «[]» и «<>». Вот как мы принимаем слово ">) ([()] <". Мы потребляем ">)", нажимая и переходя к этапу 2. Мы потребляем "(", выталкиваяи запоминание верхней границы стека . Мы потребляем "[()]", нажимая и щелкая ; при нажатииA A B C C ′ A ′ A ′ A B A B A B A A B ϵ X ′ B A C $A$ $A$$A$$B$$C$$C'A'$$A'$$A$$BA$$B$ , мы знаем, что «реальная» вершина стека - это , и поэтому допускаются квадратные скобки (нас не обманул бы «>) (() <»); при нажатии , поскольку вершина стека - это (который не является или имеет форму ), то мы знаем, что также является «реальной» вершиной стека, и поэтому допускаются круглые скобки (даже если теневая вершина стека ). Наконец, мы потребляем "<" и поп .$A$$A$$B$$\epsilon$$X'$$B$$A$$C'$

Рассмотрим нормальную форму Грейбаха . Чтобы создать сдвинутый язык, вам нужно всего лишь изменить производство на и добавить новый нетерминальный который ведет себя так же, как раньше, в случае производство ссылки . S → A 1 … A n α S ′ S $S \to \alpha A_1 \dots A_n$$S \to A_1\dots A_n \alpha$$S'$$S$$S$

Хорошей идеей оказалось проверить старое классическое « Введение в теорию автоматов» Хопкрофта и Уллмана (1979). Закрытие в цикле - это Упражнение 6.4c и помечено S **. Двойные звезды означают, что это одна из самых сложных проблем (в книге). К счастью, S указывает, что это одна из выбранных проблем с решением.

Решение заключается в следующем. Беру CFG в хомском нормальном виде. Рассмотрим любое деривационное дерево и в основном перевернем его. Рассмотрим путь в исходном дереве. На левом дереве есть вклады на правый , то есть строка выводится равных . ( На самом деле , как грамматика CNF , когда путь продолжается влево, вклад будет справа и соответствующий пуст, и т.д.)$S=X_1, X_2, \dots , X_n$$x_1, x_2, \dots, x_n$$y_1, y_2, \dots, y_n$$x_1 x_2 \dots x_n y_n \dots y_2 y_1$$x_i$

У дерева вверх ногами есть путь с вкладами слева и справа, поэтому результат является производным для . Как требуется.у п , ... , у 2 у 1 х п , ... , х 2 х 1 у п ... у 2 у 1 х 1 х 2 ... х $S', \hat X_n, \dots \hat X_2, \hat X_1$$y_n, \dots, y_2 y_1$$x_n, \dots, x_2 x_1$$y_n \dots y_2 y_1 x_1 x_2 \dots x_n$

Полные детали конструкции приведены в книге.

Обратите внимание, как это напоминает (принятое) решение Ювала. Нетерминалы, которые вставляются, а не выталкиваются, расположены в стеке в обратном порядке. Совершенно похоже на перевернутый на дереве.