Почему журнал в биг-о двоичного поиска не является базой 2?

35

Я новичок в понимании алгоритмов информатики. Я понимаю процесс бинарного поиска, но у меня возникло небольшое недопонимание с его эффективностью.

При размере элементов в среднем потребуется шагов, чтобы найти конкретный элемент. Взяв логарифм с обеих сторон 2, получим . Так не будет ли среднее число шагов для алгоритма бинарного поиска ? $s = 2^n$ $n$ $\log_2(s) = n$ $\log_2(s)$

В этой статье Википедии об алгоритме двоичного поиска говорится, что средняя производительность равна . Почему это так? Почему это не число ? $O(\log n)$ $\log_2(n)$

algorithms runtime-analysis binary-search

— Доктор Пеппер
источник

2

Дубликат SO - Является ли база Big O (logn) журналом e?

— Dukeling

86

Когда вы изменяете основание логарифма, результирующее выражение отличается только постоянным множителем, который, по определению записи Big-O , подразумевает, что обе функции принадлежат одному и тому же классу в отношении их асимптотического поведения.

Например где

\log_{10} n = \frac{\log_{2} n}{\log_{2} 10} = C \log_{2} n

$\log_{10}n = \frac{\log_{2}n}{\log_{2}10} = C \log_{2}{n}$

.

C = \frac{1}{\log_{2} 10}

$C = \frac{1}{\log_{2}10}$

Таким образом, и отличаются константой , и, следовательно, оба являются истинными: В общем случае - это для натуральных чисел и больше 1. $\log_{10}n$ $\log_{2}n$ $C$

\log_{10} n is O (\log_{2} n)

$\log_{10}n \text{ is } O(\log_{2}n)$

\log_{2} n is O (\log_{10} n)

$\log_{2}n \text{ is } O(\log_{10}n)$

\log_{a} n

$\log_{a}{n}$

O (\log_{b} n)

$O(\log_{b}{n})$

a

$a$

b

$b$

Еще один интересный факт с логарифмическими функциями является то , что в то время как при постоянном , НЕ , но является , поскольку , который отличается от только константы фактор . $k>1$ $n^k$ $O(n)$ $\log{n^k}$ $O(\log{n})$ $\log{n^k} = k\log{n}$ $\log{n}$ $k$

— fade2black
источник

a, b > 1

$a,b > 1$

e

$e$

2

O (\log n)

$O(\log n)$ uses: it can be any of the commonly used based, since it doesn't make a difference.

— svick

9

In addition to fade2black's answer (which is completely correct), it's worth noting that the notation " $\log(n)$ " is ambiguous. The base isn't actually specified, and the default base changes based on context. In pure mathematics, the base is almost always assumed to be $e$ (unless specified), while in certain engineering contexts it might be 10. In computer science, base 2 is so ubiquitous that $\log$ is frequently assumed to be base 2. That wikipedia article never says anything about the base.

But, as has already been shown, in this case it doesn't end up mattering.

— MattPutnam
источник

7

It is probably further worth noting then that while "log(n)" might be ambiguous that "O(log(n))" is not because the latter only has one meaning, no matter what base you might be thinking of.

— Chris