Максимизация выпуклой функции с линейным ограничением

maximize f (x) subject to A x = b

$\text{maximize } f(\mathbf{x}) \quad\text{subject to } \mathbf{Ax} = \mathbf{b}$

где

f (x) = \sum_{i = 1}^{N} \sqrt{1 + \frac{x_{i}^{4}}{{(\sum_{i = 1}^{N} x_{i}^{2})}^{2}}},

$f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^N\sqrt{1+\frac{x_i^4}{\left(\sum_{i=1}^{N}x_i^2\right)^2}},$

$\mathbf{x} = [x_1,x_2,...,x_N]^T \in \mathbb{R}^{N\times 1}$ и . $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{M\times N}$

Мы можем видеть, что является выпуклым и имеет вид . Также можно показать, что ограничена в . Я знаю, что проблема выпуклой максимизации, вообще говоря, NP-сложна. $f$ $\sqrt{1+y^2}$ $f$ $[\sqrt{2}, 2]$

Однако, учитывая специфику проблемы, можно ли решить ее, используя любое стандартное программное обеспечение / пакет для выпуклой оптимизации?

optimization

— Sooraj
источник

Есть два суммирования, одно внутри другого, которые используют одну и ту же «переменную цикла» . Из контекста ясно, какие применения есть какие, но, пожалуйста, исправьте для ясности.

i

$i$

i

$i$

— j_random_hacker

Да, выпуклая оптимизация с ограничением равенства в целом является NP-Hard. Тем не менее, существуют зрелые методы, которые находят очень хорошие приближенные решения для выпуклых задач оптимизации, такие как Coordinate Descent.

Предположим, вы используете координату спуска и матрица A имеет ранг . Вы можете зафиксировать nk-1 координат вашего возможного решения и тогда векторы решения в пространстве решений однозначно определяются одной координатой, например, . В этом случае вы можете просто взять производную от по чтобы найти максимум в этой итерации. $k$ $x = (x_1, x_2, x_3, ..., x_n)$ $x_i$ $f(\cdot)$ $x_i$

Затем мы итеративно фиксируем координату nk-1 и улучшаем решение до тех пор, пока не будет найдена приблизительно оптимальная.

— Strin
источник

@RodrigodeAzevedo: Нет ничего удивительного в том, что LP, частный случай выпуклой оптимизации, проще, чем общий случай.

— j_random_hacker