Подсчет островов в булевых матрицах

Учитывая булеву матрицу X , пусть 0 записей представляют море, а 1 запись представляет землю. Определите остров как вертикально или горизонтально (но не по диагонали) смежные 1 записи.$n \times m$$\mathrm X$$0$$1$$1$

Первоначальный вопрос заключался в подсчете количества островков в данной матрице. Автор описал рекурсивное решение ( памяти).$\mathcal{O}(nm)$

Но я безуспешно пытался найти потоковое (слева направо, а затем вниз к следующему ряду) решение, которое динамически подсчитывает острова с или O ( n ) или O ( n + m ) памятью (ограничений нет) за сложность времени). Это возможно? Если нет, то как я могу это доказать?$\mathcal{O}(m)$$\mathcal{O}(n)$$\mathcal{O}(n+m)$

Несколько примеров ожидаемых выходов для определенных входов для countфункции:

$count\begin{pmatrix} 010\\ 111\\ 010\\ \end{pmatrix} = 1; % count\begin{pmatrix} 101\\ 010\\ 101\\ \end{pmatrix} = 5; % count\begin{pmatrix} 111\\ 101\\ 111\\ \end{pmatrix} = 1;$

$count\begin{pmatrix} 1111100\\ 1000101\\ 1010001\\ 1011111\\ \end{pmatrix} = 2$

$count\begin{pmatrix} 101\\ 111\\ \end{pmatrix} = 1$

Вот эскиз алгоритма, который одновременно хранит только две строки в памяти, поэтому памяти. Но так как вы можете запустить этот алгоритм для транспонирования матрицы без проблем, фактическая сложность составляет O ( min ( m , n ) ) памяти. Время обработки O ( m n ) .$O(m)$$O(\min(m, n))$$O(mn)$

1. Инициализация. Просканируйте первую строку и найдите все связанные подстроки этой строки. Присвойте каждой непересекающейся подстроке уникальный положительный идентификатор и сохраните его как вектор, который равен нулю, где равен нулю, а уникальный положительный идентификатор в противном случае.$X$

2. Для каждой оставшейся строки назначьте уникальные идентификаторы (никогда не назначайте предыдущие уникальные идентификаторы, убедитесь, что ваши идентификаторы строго увеличиваются) для подстрок в этой строке снова. Просмотрите предыдущую строку плюс текущую строку в виде матрицы размером на m , и всем связанным областям следует назначить их минимум. Например:$2$$m$

   $$\begin{array}0010402220333300\\ 506607080009990\end{array} \rightarrow \begin{array}0010402220333300\\ 504402020003330\end{array}$$

   Нет необходимости обновлять предыдущий ряд для корректности этого алгоритма, только текущий.

   После того, как это сделано, найдите набор всех идентификаторов в предыдущей строке, которые не подключаются к следующей строке, отбрасывая дубликаты . Добавьте размер этого набора к вашему бегущему счетчику островов.

   Теперь вы можете отказаться от предыдущей строки и назначить текущую строку предыдущей строке и двигаться дальше.

3. $X$

$O(n)$$O(n\log n)$$n=m$$\Omega(n)$

Предположим, что Алиса содержит двоичный вектор а Боб содержит двоичный вектор y 1 , … , y n , и они хотят знать, существует ли индекс i такой, что 0 , x n и y 1 , 0 , у 2 , 0 $x_1,\ldots,x_n$$y_1,\ldots,y_n$$i$$x_i=y_i=1$$2\times(2n-1)$$x_1,0,x_2,0,\ldots,0,x_n$$y_1,0,y_2,0,\ldots,0,y_n$$\sum_i x_i$$\sum_i (x_i+y_i)$$i$$\Omega(n)$$\Omega(n)$

$O(n)$$O(\log n)$$O(n)$