Как можно ws с | w | = | s | и будет ли контекстно-свободным, а w # s - нет?

Почему (если так) разделитель делает разницу между двумя языками?$\#$

Позвольте сказать:

$L=\{ws : |w|=|s|\, w,s\in \{0,1\}^{*}, w \neq s \}$

$L_{\#}=\{w\#s : |w|=|s|\, w,s\in \{0,1\}^{*}, w \neq s \}$

Вот доказательство и грамматика, представляющая как$L$$CFL$

И ниже я добавляю доказательство для :$L_{\#} \notin CFL$

Действительно ли знак имеет значение? если так, то почему? а если нет, то какое из доказательств неверно и где?$\#$

Доказательство того, что :$L_{\#} \notin CFL$

Предположим от противного, что . Пусть - постоянная накачки для гарантированная леммой накачки для контекстно-свободных языков. Мы рассмотрим слово , где , так . Так как , согласно лемме о накачке существует представление , такое что , , и для каждого .$L ∈ CFL$$p > 0$$L$$s = 0^{m}1^{p}\#0^{p}1^{m}$$m=p!+p$$s ∈ L$$|s| > p$$s = uvxyz$$|vy| > 0$$|vxy| ≤ p$$uv^{j}xy^{j} z ∈ L$$j ≥ 0$

Получаем противоречие по случаям:

• Если или содержат : тогда для мы получим, что не содержит , поэтому противоречие.$v$$y$$\#$$i = 0$$uxz$$\#$$uxz \notin L$

• Если и оставить : тогда для мы получим, что имеет вид , где, Так .$v$$y$$\#$$i = 0$$uxz$$w\#x$$|w| < |x|$$uxz \notin L$

• Если и имеют право на : аналогично последнему случаю.$v$$y$$\#$

• Если равно , то верно и: Тогда для мы получаем, что имеет вид , где, Так .$v$$\#$$y$$|v| < |y|$$i = 0$$uxz$$w\#x$$|w| > |x|$$uxz \notin L$

• Если равно , то верно и: Похоже на последний случай.$v$$\#$$y$$|v| > |y|$

• Если равно , то верно иЭто самый интересный случай. Так как , должно содержаться в части , а в . Таким образом, он утверждает, что и для одного и того же (фактически это должно быть ). Для каждого верно, что , так что если это случится, что$v$$\#$$y$$|v| = |y|$$|vxy| ≤ p$$v$$1^{p}$$s$$y$$0^{p}$$v = 1^{k}$$y = 0^{k}$$1 ≤ k ≤ p$$k < p/2$$j ≥ 0$$uv^{j+1}xy^{j+1}z = 0^{m}1^{p+j·k}\#0^{p+j·k}1^{m}$$m = p + j · k$u v j + 1 x y j + 1 z∉Lj=(m-p) / km-pkm=p+р! м-р=р! р! 1, тогда он считает, что в противоречие. Чтобы достичь этого, мы должны взять , что справедливо только в том случае, если делится на . Напомним, что мы выбралитак чтоиделится на любой по желанию.$uv^{j+1}xy^{j+1}z \notin L$$j = (m-p)/k$$m − p$$k$$m = p + p!$$m − p = p!$$p!$$1 ≤ k ≤ p$

Ваши доказательства верны, а я ошибался. Мне потребовалось некоторое время, чтобы понять, где было мое замешательство, но с помощью Ювала я думаю, что понял.

Давайте рассмотрим три языка

$\qquad\begin{align*} &L_= &\!\!\!\!\!\!\!\!\! &= \{ xy \mid |x| = |y|, x \neq y \}, \\ &L_{\#} &\!\!\!\!\!\!\!\!\! &= \{ x\#y \mid x \neq y \},\ \text{and} \\ &L_{=\#} &\!\!\!\!\!\!\!\!\! &= \{ x\#y \mid |x| = |y|, x \neq y \}. \end{align*}$

Как мы видели здесь , зависит от контекста. Хитрость заключается в том, чтобы в грамматике генерировать символы «справа», но считать их «слева» позже (или наоборот), следя за тем, чтобы несовпадающие символы появлялись в совпадающих позициях. Условие длины тривиально, так как оно уменьшается до четной длины. Вы можете построить NPDA с похожей идеей, используя стек, чтобы соответствовать позиции.$L_=$

$L_\#$ также не зависит от контекста . Доказательство еще проще: несовпадающие символы появляются на одинаковом расстоянии от начала, соответственно. разделитель. Неравные длины можно проверить отдельно; Недетерминизм "выбирает" между двумя вариантами.

Теперь, как вы показываете, не является контекстно-свободным. Вот почему доказательства для двух других языков ломаются.$L_{=\#}$

1. В грамматике для , если нам нужно сгенерировать разделитель в середине, мы не можем «переназначить» символы с «левого» на «правый».$L_=$
2. Вместо того , чтобы «принять , если длины неравны или несоответствие» мы должны «принять , если длины равны и несоответствие». Недетерминизм не может помочь нам с и !

Итак, что интуитивно сводится к тому, что условия вида « » и « » оба «не зависят от контекста» в том смысле, что их можно проверить с помощью стека, но не используя конечный контроль. Таким образом, КПК может сделать одно, но не оба.| х | = | у $x \neq y$$|x| = |y|$

КПК для "читы", так как он на самом деле не проверяет эти условия для и ; это разделяет слово по-другому. Это больше невозможно, если у вас есть разделитель. x $L_=$$x$$y$

Приложение: Я смело утверждал, что потому что CFL закрыт против обратного гомоморфизма. Хотя верно, что с идентификатором за исключением удаления , это не имеет значения. ; о ничего нельзя сказать . f( L = # )= L = f# f - 1 ( L = )= L # L = $L_= \in \mathrm{CFL} \implies L_{=\#} \in \mathrm{CFL}$$f(L_{=\#}) = L_=$$f$$\#$$f^{-1}(L_=) = L_\#$$L_{=\#}$

Приложение II: Обратите внимание, что тривиально не зависит от контекста. Следовательно, с у нас есть хороший пример того, что CFL не закрывается от пересечения.L ∩ L # = L = $L = \{ x\#y \mid |x| = |y| \}$$L \cap L_\# = L_{=\#}$