Направленный союз-найти

Рассмотрим ориентированный граф , на котором можно динамически добавлять края и сделать некоторые конкретные запросы.$G$

Пример: непересекающееся-множество лесов

Рассмотрим следующий набор запросов:

arrow(u, v)
equiv(u, v)
find(u)

первый добавляет стрелку к графу, второй решает, если , последний находит канонического представителя класса эквивалентности , то есть a такого что подразумевает .u ↔ ∗ v ↔ ∗ r ( u ) u ↔ ∗ v r ( v ) = r ( u $u→v$$u↔^*v$$↔^*$$r(u)$$u↔^*v$$r(v)=r(u)$

Существует хорошо известный алгоритм с использованием структуры данных лесов непересекающейся-набором , реализующую эти запросы в квазипостоянном амортизируется, а именно сложность . Обратите внимание , что в данном случае реализуется с помощью .$O(α(n))$equivfind

Более сложный вариант

Теперь меня интересует более сложная проблема, где направления имеют значение:

arrow(u, v)
confl(u, v)
find(u)

первый добавляет стрелку , секунд решает, есть ли узел достижимый как от и от , т.е. . Последний должен возвращать объект такой, что подразумевает где должен легко вычисляться. (Для того, чтобы, скажем, вычислить ). Цель состоит в том, чтобы найти хорошую структуру данных, чтобы эти операции выполнялись быстро.$u→v$$w$$u$$v$$u→^*←^*v$$r(u)$$u→^*←^*v$$r(u) \bullet r(v)$$\bullet$confl

циклы

Граф может содержать циклы.

Я не знаю, есть ли способ эффективно и постепенно вычислять сильно связанные компоненты, чтобы рассматривать DAG только для основной проблемы.

Конечно, я был бы признателен за решение для DAG. Это будет соответствовать инкрементному вычислению наименее общего предка.

Наивный подход

Структура данных леса с несвязным множеством здесь не помогает, так как она игнорирует направление ребер. Обратите внимание, что не может быть одним узлом, если граф не является слитым.$r(u)$

Можно определить и определить как когда . Но как вычислить это постепенно?∙ S 1 ∙ S 2 S 1 ∩ S 2 ≠ $r(u)=\{v ∣ u→^*v\}$$\bullet$$S_1\bullet S_2$$S_1 ∩ S_2≠∅$

Вероятно, что вычисление такого большого набора бесполезно, меньший набор должен быть более интересным, как в обычном алгоритме поиска объединения.

( Изменить : полностью переписал мой ответ теперь, когда мое понимание проблемы (я надеюсь) яснее.)

Похоже, что эту проблему можно свести к постепенному построению и улучшению аппроксимации транзитивного замыкания графа по мере построения и поиска графа.

у v v ≠ U U , V U V U ш V $r(u)$ - это, абстрактно, множество всех узлов, которые достижимы из и для каждого в графе. (Конечно, не все пары обязательно будут иметь узел, к которому можно обратиться из обоих.) В отличие от случая в union-find, этот набор не может быть представлен как канонический репрезентативный узел в графе, потому что могут быть узлы, которые достижимы как от и , так и от и , которые, тем не менее, недоступны как от и от .$u$$v$$v \ne u$$u, v$$u$$v$$u$$w$$v$$w$

Скажите , вы поддерживаете, для каждого , множество вершин , достижимых из (я буду называть эту ). Эти наборы по необходимости могут быть дополнительной структурой данных для каждого узла или, по крайней мере, набором дополнительных «горячих» ребер в графе. Если вы не заботитесь о сохранении указанной структуры графа, не было бы необходимости различать эти ребра и заданные ребра.U R ( U $u$$u$$R(u)$

У меня нет никаких идей по поводу структуры данных, которая фиксирует это, что более эффективно, чем общий случай (например, битовый вектор или хэш-таблица), но вы можете обновлять эти наборы постепенно:

Каждый раз, когда вы добавляете ребро от к другому узлу , вы устанавливаете .v R ( u ) = R ( u ) ∪ R ( v $u$$v$$R(u) = R(u) \cup R(v)$

Реализовать conflпервым пытающегося ; если это не пусто, возвращает истину. Но если он является пустым, сделайте два параллельных ширину первого поиска из и , пока вы не исчерпывают оба множества достижимости или найти узел общего. В то время как вы делаете это, а также обновление и (и «S всех промежуточных узлов , которые вы найдете) включать достижимые узлы , которые вы нашли. и если вы нашли узел в общем, набор R (и) = R (v) = R (и) \ чашка R (v) .R ( U ) R ( v ) R ( U ) R ( v ) $R(u) \cap R(v)$$R(u)$$R(v)$$R(u)$$R(v)$$R$

find(u)просто возвращает . Проблема заключается в том, что не реализуется исключительно в терминах . Я не понимаю , как это могло бы быть , если алгоритм не был ненаращиваемым (т.е. предварительно вычислить все множества всех узлов с транзитивным замыканием графа.) Тем не менее, поэтапный подход должен еще дать вам достаточно хорошие АМОРТИЗИРОВАННОМУ стоимость, хотя я понятия не имею , если он приближается экспромтом. (Это , вероятно , не ложный ответ от. Требует , чтобы вы запустить два BFS'es даже тогда , когда ваши множества насыщаются;. Это также кажется неизбежным , если алгоритм не сделан ненаращиваемый)$R(u)$conflfind$R$$O(\alpha(n))$confl$R$

Это звучит очень похоже на то, что это может быть частный случай методов Ла-Путре и Ван Левена для поддержания транзитивного замыкания графа .

Я понимаю, что это не полностью отвечает на этот вопрос, но, возможно, это помогает прояснить его, и тот, кто имеет больший опыт работы с графовыми алгоритмами, может дать лучшую структуру данных для кодирования наборов$R$