Язык программирования, который может реализовывать только вычислимые биективные функции?

Существуют ли языки программирования (или логика), которые могут реализовать (или выразить) функцию тогда и только тогда, когда вычислимые биективные функции? $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ $f$

— Чао Сюй
источник

Кто-то доказал мне, что невозможно создать язык, который принимает только завершающие программы. Так как ваш вопрос довольно похож, наверное, нет.

— FUZxxl

Кажется маловероятным, чтобы существовал такой язык программирования, я думаю, вы могли бы попытаться применить его, но тогда вы не сможете выполнять простые вещи, такие как сортировка, по крайней мере, без того, чтобы он не стал ужасно сложным и болезненным.

— Люк Мэтисон

@FUZxxl Это не захватывает много завершающих программ, фактически даже функцию f (x) = 1 невозможно выразить на этом языке. Кроме того, у меня есть ощущение, что этот вид функций захвачен полным функциональным программированием, поскольку каждая функция является полной функцией.

— Чао Сюй

@ FUZxxl, я не думаю, что это правильно, но такой язык должен быть ограничен. Например, язык, который был бы эквивалентен конечным детерминированным автоматам, гарантированно заканчивался, но был бы чрезвычайно ограничен в том, что он мог вычислить.

— 2012 года

@FUZxxl, детали такого заявления важны. Легко спроектировать язык программирования, на котором заканчивается каждая программа. Другое дело спроектировать язык, который мы можем выразить каждой вычислимой функцией.

— Виджей Д

Там нет такого языка.

Тем не менее, посмотрите на Бумеранг . Это язык для написания биекций между строками. Я не знаю, насколько широкий класс карт выразим в нем, но я уверен, что вы можете узнать, если вы ищете немного.

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

$f_0, f_1, f_2, \ldots$

$g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $g(2 k)$ $g(2 k + 1)$ $f_k(2 k)$

$f_k(2 k) = 2 k$ $g(2 k) = 2 k + 1$ $g(2 k + 1) = 2 k$
$f_k(2 k) \neq 2 k$ $g(2 k) = 2 k$ $g(2 k + 1) = 2 k + 1$

$k \in \mathbb{N}$ $g$ $f_k$ $g(2 k) \neq f_k(2 k)$ $g$

— Андрей Бауэр
источник

2 k

$2k$

2 k + 1

$2k+1$

g (k) = f_{k} (k) + 1

$g(k)=f_k(k)+1$

f_{k} (k) + 1

$f_k(k)+1$

g

$g$

Первоначальное утверждение неверно, в литературе много таких языков.

— Натаниэль

С другой стороны, ваше доказательство кажется законным. Возможно, я как-то запутался. Мне нужно внимательно прочитать статью Аксельсена и Глюка (см. Мой ответ), чтобы понять, что здесь происходит.

— Натаниэль