Временная сложность сложения

Википедия перечисляет временную сложность сложения как , где - количество битов. $n$ $n$

Это жесткая теоретическая нижняя граница? Или это просто сложность самого быстрого известного алгоритма. Я хочу знать, потому что сложность сложения подчеркивает все другие арифметические операции и все алгоритмы, которые их используют.

Теоретически невозможно получить алгоритм сложения, который работает в ? Или мы связаны с линейной сложностью для сложения. $o(n)$

algorithms algorithm-analysis arithmetic

— Тоби Алафин
источник

Ответы:

Если ваш алгоритм использует асимптотически меньше времени, то у него недостаточно времени для чтения всех цифр добавляемых чисел. Вы должны представить, что обрабатываете очень большие числа (хранятся, например, в текстовых файлах 8 МБ). Конечно, сложение может быть сделано очень быстро по сравнению со значением чисел; он выполняется за время , если является значением суммы. $n$ $\mathcal{O}(\log(N))$ $N$

Это не значит, что вы можете немного ускорить процесс; если ваш процессор обрабатывает 32 бит каждой операции, то вы используете раза, но это все ещеа не. $\frac{n}{32}$ $\mathcal{O}(n)$ $o(n)$

— Лиуве Винхуйзен
источник

Читает все данные теоретически необходимо. Для сложения любых двух чисел

. Вычисление

, может быть сделано в операции

, через сдвиг. Добавление

. Считают, что. Если вы не можете найти более быструю оценку суммы, уточните ее, пока она не станет правильной. Менее чем за

операций?

a

$a$

b, a : a \geq b, a + b \leq 2 a

$b, a: a \ge b, a + b \le 2a$

2 a

$2a$

O (1)

$O(1)$

0

$0$

n

$n$

— Тоби Алафин

Да, это теоретическая необходимость, потому что: каждый бит ввода используется нетривиально в выводе , где под нетривиальным я подразумеваю, что это не единичная функция. В вашем

примере, является ли

может быть вычислена в

зависит от времени на расчетной модели: если присоединени

является операцией постоянная времени, то да. Если у вас есть доступ к ОЗУ, вам нужно

чтобы записать адрес бита, если вы уже знаете длину

или

2 a

$2a$

2 a

$2a$

O (1)

$O(1)$

0

$0$

O (\log (n))

$O(\log(n))$

a

$a$

O (n)

$O(n)$ время , если вы должны прочитать все выяснить. В этом

примере, многие выходные биты являются тривиальными функциями входных бит.

a

$a$

2 a

$2a$

— Lieuwe Vinkhuijzen

У меня есть алгоритм , который находит длину в

. Он использует бинарный поиск.

a

$a$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Тоби Алафин

@TobiAlafin Если ваша модель поддерживает адресацию ОЗУ, тогда ваш двоичный поиск выполняется за

шагов, правильно. На Turing Machine и в текстовом файле, не загруженном в основную память, это занимает

времени. В любом случае, чтобы ответить на ваш вопрос, с или без адресации ОЗУ для ускорения поиска, ваш алгоритм должен будет просмотреть все биты ввода, чтобы вычислить

. Предположим, что это не так, и на входе в

бита он не проверяет

бит. Тогда я мог бы перевернуть этот бит, и это дало бы неправильный ответ.

O (\log n)

$O(\log n)$

O (n)

$O(n)$

a + b

$a+b$

42

$42$

6

$6$

— Lieuwe Vinkhuijzen

Ω (n)

$\Omega(n)$

Чтобы анализ сложности вообще имел какой-либо формальный смысл, вы должны указать формальную вычислительную модель, в которой выполняется алгоритм в объекте, или, по крайней мере, модель затрат , которая определяет основные операции и их расходы.

В большинстве случаев предполагается, что арифметические операции занимают времени. Обычно это разумно, так как нас интересует алгоритмическая сложность независимо от участвующих чисел. Это называется моделью равномерной стоимости . $\Theta(1)$

Если числа могут расти неограниченно, или мы заинтересованы в анализе самих операций, считаются, что арифметические операции имеют стоимость , пропорциональную размеру ввода. $\Theta(|x|)$

Теперь, операции могут иметь стоимость, которая меньше, чем это? Возможно, однако, вам придется формально определить вычислительную модель, в которой это может произойти.

— быстрая сортировка
источник

Θ (\log n)

$\Theta(\log n)$

n

$n$

$\Omega(n)$

Представьте , что ваш алгоритм успешно добавляет 1010100110 и 0010010110 без чтения каждого бита. Для того , алгоритм , чтобы иметь возможность добавлять произвольные входы, я должен быть в состоянии случайно перевернуть любой из этих битов, и выходной алгоритм еще правильный (но разные) сложение. Но если ваш алгоритм не читает каждый бит, как он может сказать, что перевернутый ввод отличается от исходного ввода?

— murrdpirate
источник

n

$n$

Абсолютно. Вы просто должны определить , что такое «приближенными» означает в вашем алгоритме. В зависимости от этого определения, добавив два наиболее значимых битов может быть приблизительная сумма, которая может быть сделано в O (N) времени. Когда вы упоминаете алгоритм «сложения», я думаю, мы все понимаем, что ответ должен быть точным.

— murrdpirate