Сколько ребер может иметь унипатический граф?

19

Унипатический граф - это ориентированный граф, такой, что существует не более одного простого пути от любой вершины к любой другой вершине.

Унипатические графы могут иметь циклы. Например, двусвязный список (а не круговой!) Является унипатическим графом; если список имеет элементов, граф имеет циклов длины 2, всего . $n$ $n-1$ $2(n-1)$

Каково максимальное число ребер в унипатическом графе с вершинами? Подойдет асимптотическая оценка (например, или ). $n$ $O(n)$ $\Theta(n^2)$

_{Вдохновленный Находить кратчайшие пути в взвешенном унипатическом графе ; в своем доказательстве я сначала хотел заявить, что число ребер было но затем понял, что достаточно ограничить количество циклов. $O(n)$}

graphs combinatorics

— Жиль "ТАК - перестань быть злым"
источник

Хороший вопрос Мы должны попытаться улучшить либо вашу нижнюю границу, либо мою верхнюю границу :).

— РБ

12

Unipathic граф может иметь ребра. Там очень хорошо известный вид графа , что это unipathic и имеет ребер. $\Theta(n^2)$ $n^2/4$

Рассмотрим полный двудольный граф с ориентированными ребрами . Этот граф унипатичен и не имеет цикла: все его пути имеют длину . Он имеет вершин и ребер. $\forall (i,j) \in [1,m]^2, a_i \rightarrow b_j$ $1$ $2m$ $m^2$

_{(Дополнительный вопрос: является ли это соотношение максимальным? Вероятно, нет, но у меня нет другого примера. Этот пример является максимальным в том смысле, что любое ребро, которое вы добавляете между существующими узлами, нарушит унипатическое свойство.)}

— Жиль "ТАК - перестань быть злым"
источник

«Любое ребро, которое вы добавляете между существующими узлами, нарушит унипатическое свойство». Как добавление ребра

нарушит свойство?

b_{1} \to a_{1}

$b_1 \rightarrow a_1$

— Митч

@mitchus

a_{2} \to b_{1} \to a_{1} \to b_{2}

$a_2 \rightarrow b_1 \rightarrow a_1 \rightarrow b_2$

— Жиль "ТАК - перестань быть злым"

1

Я думаю, что мой разум был как-то унипатичен в тот день :) Что касается максимальности, соотношение может увеличиться до 1/4 для больших

n

$n$ , но для

у двусвязного списка больше ребер, чем

.

n \in {2, 3, 4, 5, 6}

$n \in \{2,3,4,5,6\}$

n^{2} / 4

$n^2/4$

— Митч

0

Я не знаю, есть ли унипатический граф на более чем ребра, но вот аргумент, показывающий, что не более $\frac{n^2}{4}$ Возможноребра: $\frac{n^2}{2}+3$

$G=(V,E)$ $|E|\geq \frac{n^2}{2}+3$

$v\in V$

d_{in} (v) \geq \frac{n}{2} + 1

$d_{\text{in}}(v)\geq \frac{n}{2}+1$

$U=\{u\in V\mid (u,v)\in E\}$

Обратите внимание , что если существует вершина такое , что $x\in V\setminus \{v\}$

\exists u_{1} \neq u_{2} \in U : (x, u_{1}), (x, u_{2}) \in E

$\exists u_1\neq u_2\in U:(x,u_1),(x,u_2)\in E$

$(x\to u_1\to v)$ $(x\to u_2\to v)$

Это означает, что (добавление ребер из $\{v\}\times U$

| E \cap (V \times U) | \leq 2 | U |

$|E\cap (V\times U)|\leq2|U|$

Таким образом, средняя степень вершин превосходит 2, поэтому: $U$

| E | = | E \cap (V \times U) | + | E \cap (V \times (V ∖ U)) |

$|E|=|E\cap (V\times U)|+|E\cap (V\times (V\setminus U))|$

\leq 2 | U | + n | V ∖ U | \leq 2 (\frac{n}{2} + 1) + n (\frac{n}{2} - 1) < \frac{n^{2}}{2} + 3

$\leq 2|U|+n|V\setminus U|\leq 2(\frac{n}{2}+1)+n(\frac{n}{2}-1)<\frac{n^2}{2}+3$

$\square$

— RB
источник