Найдите самый длинный повторяющийся узор в строке

Я ищу эффективный алгоритм, чтобы найти самый длинный повторяющийся образец в строке.

Например, рассмотрим следующую строку чисел:

5431428571428571428571428571427623874534,

Как видите, 142857142857это самый длинный шаблон, который повторяется в этой строке пару раз (по крайней мере, дважды).

Повторяющаяся строка не должна содержать каких-либо идей, а не грубой силы?

Проблема на удивление нетривиальна. Во-первых, два алгоритма грубой силы. Квадрат («повторяющийся шаблон») определяется его длиной и позицией , и для его проверки требуется время . Если мы переберем все и , мы получим алгоритм . Мы можем улучшить это, сначала зацикливая на , а затем сканируя строку с двумя бегущими указателями на расстоянии . Таким образом, можно проверить, существует ли квадрат длины за линейное время, давая общее время работы .$\ell$$p$$O(\ell)$$\ell$$p$$O(n^3)$$\ell$$\ell$$2\ell$$O(n^2)$

Колпаков и Кучеров разработали алгоритм нахождения всех максимальных повторов в слове за время [1], и их алгоритм можно использовать для нахождения всех максимальных квадратов за время . Повтор подслово вида , где и является собственным префиксом . Самый большой квадрат, содержащийся в этом повторении: . Используя эту формулу, учитывая все максимальные повторения в слове (из которых только много), можно найти самый большой квадрат.$O(n)$$O(n)$$w^kx$$k \geq 2$$x$$w$$(w^{\lfloor k/2 \rfloor})^2$$O(n)$

[1] Колпаков Р., Кучеров Г. (1999). Нахождение максимальных повторений в слове за линейное время . В Основы информатики, 1999. 40-й ежегодный симпозиум (стр. 596-604). IEEE.