Что такое «противоречие» в конструктивной логике?

В практических основах Языки программирования , Роберт Харпер говорит

Если для утверждения быть истинным означает иметь доказательство этого, что это означает для предложения быть ложным? Это значит, что у нас есть опровержение , доказывающее, что это невозможно доказать. То есть утверждение неверно, если мы можем показать, что предположение о том, что оно верно (имеет доказательство), противоречит известным фактам.

Но тогда возникает вопрос: что является противоречием в конструктивной / интуиционистской логике?

Это как-то подразумевается в смысле получения ? Как бы это произошло разумным образом? Нужно ли вводить суждение о форме ?$(\bot\text{ true})$$(A \supset \bot \text{ true})$

Или же, возможно, подразумевается ли в том смысле, что читатель использует свое усмотрение для неофициальной маркировки чего-либо как противоречивого? Например, интерпретировать и как конфликтующие предложения.a ≠ $a = b$$a \neq b$

Неважно, говорим ли мы о конструктивной или классической логике в этой ситуации. Если вы снова прочитаете свои вопросы, вы увидите, что они относятся к обоим видам. Единственное отличие , что мы должны обратить внимание на это представление отрицания . Классически он может быть представлен несколькими способами, но интуитивно лучше использовать его как аббревиатуру для (это именно то, на что Боб Харпер намекает в цитируемом абзаце). Но давайте не будем путать отрицания и противоречия.A ⇒ $\lnot A$$A \Rightarrow \bot$

В обоих случаях противоречие - это ситуация, в которой нам удалось доказать ложность$\bot$ . Как мы можем получить разумный способ ? Ну, из непоследовательного набора гипотез, это будет разумный способ сделать это.$\bot$

Вы не можете по своему усмотрению «объявить» противоречие. Вы должны доказать, что данный набор гипотез противоречив, выводя . Например, если и то мы можем использовать тот факт, что является аббревиатурой для и заключить помощью modus ponens.a = b ¬ ( a = b ) ¬ ( a = b ) ( a = b ) ⇒ ⊥ $\bot$$a = b$$\lnot (a = b)$$\lnot (a = b)$$(a = b) \Rightarrow \bot$$\bot$

Противоречие, как правило , представляются в виде . В интуиционистской логике типично определять как . Это ясно , что мы можем получить из . В конечном счете, противоречие будет гипотетическим выводом как предполагает само определение . Это будет гипотетически, потому что иначе ваша логика противоречива.¬ A A ⇒ ⊥ ⊥ A ∧ ¬ A ⊥ $A \land \lnot A$ $\lnot A$$A \Rightarrow \bot$$\bot$$A \land \lnot A$$\bot$$\lnot$

Смысл Харпера в том, что доказывать что-то - значит иметь доказательство, а опровергать что-то - значит иметь доказательство того, что оно подразумевает . Тем не менее, вы легко можете оказаться в ситуации, когда вы можете (метологически) доказать, что вы не можете предоставить ни доказательства, ни опровержение. В такой ситуации утверждение не является ни конструктивно верным, ни ложным.$\bot$

Способ понять классическую логику и противопоставить ее вышеизложенному заключается в следующем (по существу, интерпретация Колмогорова с двойным отрицанием): мы говорим, что предложение ложно, если оно подразумевает противоречие, то есть подразумевает . Предложение верно, если мы можем доказать, что оно не может быть опровергнуто, то есть мы можем показать, что если оно ложно, это приводит к противоречию. В символах ложно в этом смысле, если , как обычно. этом смысле верно, если , т.е.A A ⇒ ⊥ A ¬ A ⇒ ⊥ ¬ ¬ A ¬ ¬ ( ¬ ¬ A ∨ ¬ A ) ¬ ¬ ¬ A ⇒ ¬ $\bot$$A$$A \Rightarrow \bot$$A$$\lnot A \Rightarrow \bot$$\lnot \lnot A$доказуемо. Вы можете показать, что Закон Исключенного Посредника действует конструктивно, если мы интерпретируем «истина» и «ложь» в этом смысле. То есть вы можете доказать, что выполняется конструктивно. Более компактная, вы можете показать . С этим понятием «истина» и «ложь» мы можем сказать, что суждение истинно, если мы можем доказать, что опровержения не существует. Напротив, конструктивно утверждение может не быть конструктивно верным, даже если мы можем продемонстрировать в системе, что опровержение не может существовать.$\lnot \lnot (\lnot \lnot A \lor \lnot A)$$\lnot \lnot \lnot A \Rightarrow \lnot A$