Математические гипотезы, эквивалентные остановке машины Тьюринга

Вопрос в том, можно ли свести каждую математическую теорему к вопросу о том, останавливается ли одна машина Тьюринга. В частности, меня интересуют гипотезы, которые в настоящее время не доказаны.

Например: Википедия говорит, что в настоящее время неизвестно, существуют ли какие-то нечетные совершенные числа. Поскольку можно решить, является ли данное число идеальным, можно написать машину Тьюринга, которая по очереди проверяет каждое нечетное число и останавливает его, если находит идеальное число. (Эта машина Тьюринга не принимает никаких данных.) Если бы мы знали, останавливается ли эта машина Тьюринга, мы бы знали, верна ли гипотеза, и наоборот.

Однако, как еще один пример, как насчет гипотезы о двойных простых числах? Можно решить, является ли данное число первым простым числом в паре близнецов, но в этом случае мы не можем просто остановиться, когда найдем первое, потому что вопрос заключается в том, существует ли бесконечное число. Мне не ясно, возможно ли создать машину Тьюринга, которая останавливается тогда и только тогда, когда гипотеза о двух простых числах верна.

Мы, безусловно, можем создать машину Тьюринга, которая останавливается тогда и только тогда, когда гипотеза о двойных простых числах доказуема в арифметике Пеано или в какой-либо другой формальной системе, но это другой вопрос, поскольку это может быть верно, но не доказуемо в конкретной системе, которую мы выбираем.

Так что мои вопросы

• Можно ли создать машину Тьюринга, которая останавливается тогда и только тогда, когда гипотеза о двух простых числах верна? (А если так, то как?)
• Можно ли вообще создать машину Тьюринга, которая останавливается тогда и только тогда, когда какое-то математическое утверждение верно? Может ли эта машина Тьюринга быть построена алгоритмически из формального утверждения?
• Если это вообще невозможно, есть ли способ классифицировать математические утверждения на то, эквивалентны ли они остановке одной машины Тьюринга или машины Тьюринга с оракулом и т. Д.? Если так, эта классификация разрешима для данного утверждения?

На ваш вопрос отвечает арифметическая иерархия . Существование нечетного совершенного числа является заявление, и поэтому вы можете проверить его с помощью Σ 1 машину, которая останавливается тогда и только тогда утверждение верно. Гипотеза о двойном простом выражении является оператором Π 2 , и поэтому вы можете создать TM с доступом к оракулу, который останавливается, если утверждение неверно.$\Sigma_1$$\Sigma_1$$\Pi_2$

В строгом логическом смысле вы всегда можете создать машину Тьюринга, которая останавливается, если выполняется выражение :$\phi$

1. Если выполнено, возьмите машину, которая останавливается.$\phi$
2. Если не держится, возьмите машину, которая не останавливается.$\phi$

Чтобы убедиться, что эта конструкция верна, рассмотрите логическую форму вашего утверждения:

Вы можете устранить эту путаницу, задав несколько иные вопросы:

Что такое набор утверждений такой, что существует машина Тьюринга, которая останавливается на ϕ ∈ Φ, если ϕ верна?$\Phi$$\phi \in \Phi$$\phi$

$\Sigma_1$

$f(1)=2$$f(2)=4$$f(n+1)=f(n)!$$n \geq 2$$n$$\Theta_n$

$x_1,\ldots,x_n$$1$$(x_1,\ldots,x_n)$$\min(x_1,\ldots,x_n) \leq f(n)$$\Theta_1,\ldots,\Theta_{16}$

$\Theta_{16}$$f(16)+3$$W \subseteq \mathbb{N}$$W$$W$$W$

$\Theta_{16}$$0'$