Является ли машина Тьюринга «по определению» самой мощной машиной?

Я согласен, что машина Тьюринга может решать «все возможные математические задачи». Но это потому, что это всего лишь машинное представление алгоритма: сначала сделайте это, затем сделайте это, наконец, выведите это.

Я имею в виду все, что разрешимо, может быть представлено алгоритмом (потому что это точно определение «разрешимого»). Это просто тавтология. Я не сказал ничего нового здесь.

И создание машинного представления алгоритма, что он также решит все возможные проблемы, также не является чем-то новым. Это тоже простая тавтология. В общем, когда говорят, что машина Тьюринга - самая мощная машина, это означает, что самая мощная машина - самая мощная!

Определение «самый мощный»: то, что может принять любой язык.
Определение «Алгоритм»: процесс для чего-либо. Машинное представление «Алгоритма»: машина, которая может делать все что угодно.

Поэтому вполне логично, что машинное представление алгоритма будет самой мощной машиной. Что нового нам дал Алан Тьюринг?

Я согласен, что машина Тьюринга может решать «все возможные математические задачи».

Ну, не стоит, потому что это не правда. Например, машины Тьюринга не могут определить, имеют ли полиномы с целыми коэффициентами целочисленные решения ( десятая проблема Гильберта ).

Является ли машина Тьюринга «по определению» самой мощной машиной?

Нет. Мы можем придумать бесконечную иерархию более мощных машин . Тем не менее, машина Тьюринга - самая мощная машина, которую мы знаем, по крайней мере, в принципе, как построить. Однако это не определение: просто мы не имеем ни малейшего понятия, как создать что-то более мощное, или, если это вообще возможно.

Что нового нам дал Алан Тьюринг?

Формальное определение алгоритма. Без такого определения (например, машины Тьюринга) у нас есть только неформальные определения алгоритма в духе «конечно определенной процедуры решения чего-либо». Ок, отлично. Но какие отдельные шаги могут предпринять эти процедуры?

Являются ли основные шаги арифметических операций? Находит ли градиент кривой шаг? Является ли поиск корней полиномов шагом? Является ли поиск целочисленных корней многочленов шагом? Каждый из них выглядит примерно так же естественно. Однако, если вы разрешите все из них, ваши «конечно определенные процедуры» более мощные, чем машины Тьюринга, что означает, что они могут решать задачи, которые не могут быть решены алгоритмами. Если вы разрешите все, кроме последнего, вы все еще находитесь в пределах вычислений Тьюринга.

Если бы у нас не было формального определения алгоритма, мы бы даже не смогли задать эти вопросы. Мы не смогли бы обсудить , какие алгоритмы могут сделать, потому что мы не знали бы , что алгоритм является .

Вы не правы, когда вы неоднократно заявляете о том или ином «просто тавтологии». Итак, позвольте мне изложить ваши претензии в историческом контексте.

Прежде всего, вам нужно сделать концепции, которые вы используете, точными. В чем проблема? Что такое алгоритм? Что такое машина? Вы можете подумать, что это очевидно, но значительная часть 1920-х и 1930-х годов была потрачена логиками, пытающимися разобраться в этом. Было несколько предложений, одним из которых были машины Тьюринга, которые были наиболее успешными. Позже выяснилось, что другие предложения были эквивалентны машинам Тьюринга. Вы должны представить себе эпоху, когда слово «компьютер» означало человека, а не машину. Вы просто катаетесь на волне и последствиях блестящих изобретений блестящих умов сотни лет назад, не осознавая этого.

Машины Тьюринга описываются конкретно в терминах состояний, головы и рабочей ленты. Далеко не очевидно, что это исчерпывает вычислительные возможности вселенной, в которой мы живем. Не могли бы мы сделать более мощную машину, используя электричество, воду или квантовые явления? Что если мы запустим машину Тьюринга в черную дыру с правильной скоростью и направлением, чтобы она могла выполнять бесконечно много шагов за то, что нам кажется конечным временем? Вы не можете просто сказать «очевидно, нет» - сначала нужно сделать некоторые вычисления в общей теории относительности. А что, если физики найдут способ связи и управления параллельными вселенными, чтобы мы могли запускать бесконечно много машин Тьюринга в параллельное время?

Это не важно , что в настоящее время мы не можем это делать. Однако важно то, что вы понимаете, что Тьюрингу приходилось думать о том, что было физически возможно (основываясь на знаниях физики того времени). Он не просто записал «простую тавтологию». Далеко от этого он тщательно проанализировал, что такое вычисления в неформальном смысле, затем предложил формальную модель, очень осторожно доказал, что эта модель отражает то, что люди понимают под «вычислениями», и вывел некоторые важные теоремы об этом. Одна из этих теорем гласит, что машины Тьюринга не могут решить все математические проблемы (вопреки одному из ваших ложных утверждений). Все это в одной статье, написанной во время летней вакцинации, когда он был студентом.было изобретение идеи современного компьютера общего назначения. После этого это был только простой вопрос техники.

Отвечает ли это тому, что Тьюринг сделал для человечества помимо простой тавтологии? А ты на самом деле читал его газету ?

То, что «все разрешимое может быть представлено алгоритмом», вовсе не очевидно.

Это стало предметом интенсивных дебатов, так как Алан Тьюринг, переработав идеи Алонзо Черча, предложил определение вычислимых чисел, принявшее форму машины, на которую вы ссылаетесь. Важно отметить, что в то время это были не единственные люди, работающие над подобными вещами.

Мы по-прежнему называем это тезисом - или гипотезой - поскольку «все, что можно вычислить» явно не является точным математическим объектом, структура и диапазон которого могут быть изучены не спекулятивным образом.

Во-первых, важно иметь в виду, что машины Тьюринга изначально были разработаны Тьюрингом не как модель какого-либо физически реализуемого компьютера, а как идеальный предел того, что вычисляется человеком при пошаговом механическом вычислении. манера (без использования интуиции). Этот пункт широко понимают неправильно - см. [1] для превосходного изложения по этой и смежным темам.

Ограничения конечности, постулируемые Тьюрингом для его машин Тьюринга, основаны на постулируемых ограничениях сенсорного аппарата человека. Обобщения анализов Тьюринга на физически реализуемые вычислительные устройства (и аналогичные тезисы Черча-Тьюринга) появились гораздо позже (1980 г.) благодаря Робину Гэнди - с ограничениями, основанными на законах физики. Как говорит Одифредди на с. 51 из [2] (Библия классической теории рекурсии)

Машины Тьюринга - теоретические устройства, но они были разработаны с учетом физических ограничений. В частности, мы включили в наши модельные ограничения:

• (а) АТОМИЗМ, гарантируя, что объем информации, который может быть закодирован в любой конфигурации машины (как конечная система), ограничен; а также

• (б) ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ, исключая действия на расстоянии, и заставляя причинный эффект распространяться через локальные взаимодействия. Ганди [1980] показал, что понятие машины Тьюринга является достаточно общим, чтобы в точном смысле включить любое вычислительное устройство, удовлетворяющее аналогичным ограничениям.

и на с. 107: (Общая теория дискретных, детерминированных устройств)

Анализ (Черч [1957], Колмогоров и Успенский [1958], Ганди [1980]) начинается с предположений об атомизме и относительности. Первый сводит структуру материи к конечному набору основных частиц ограниченных размеров и, таким образом, оправдывает теоретическую возможность демонтажа машины до набора базовых компонентов. Последнее накладывает верхнюю границу (скорость света) на скорость распространения причинных изменений и, таким образом, обосновывает теоретическую возможность уменьшения причинного эффекта, возникающего в момент t в ограниченной области пространства V, до действий, производимых этими областями. чьи точки находятся в пределах расстояния c * t от некоторой точки V. Конечно, в предположениях не учитываются системы, которые являются непрерывными или допускают неограниченное действие на расстоянии (например, ньютоновские гравитационные системы).

Анализ Гэнди показывает, что ПОВЕДЕНИЕ РЕКУРСИВНО ДЛЯ ЛЮБОГО УСТРОЙСТВА С ФИКСИРОВАННОЙ СВЯЗЬЮ О СЛОЖНОСТИ ЕГО ВОЗМОЖНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ (в том смысле, что как уровни концептуального наращивания из составляющих, так и количество составляющих в любой структурированной части любая конфигурация, ограничены), И ИСПРАВЛЕННЫЕ КОНЕЧНЫЕ, ДЕТЕРМИНИСТИЧЕСКИЕ НАБОРЫ ИНСТРУКЦИЙ ДЛЯ ЛОКАЛЬНОГО И ГЛОБАЛЬНОГО ДЕЙСТВИЯ (первый рассказывает, как определить влияние действия на структурированные части, второй - как собрать локальные эффекты). Более того, анализ является оптимальным в том смысле, что, когда он становится точным, любое ослабление условий становится совместимым с любым поведением, и, таким образом, он обеспечивает достаточное и необходимое описание рекурсивного поведения.

Анализ Гэнди дает очень яркий взгляд на мощность и ограничения машин Тьюринга. Это стоит прочитать, чтобы получить более глубокое понимание этих вопросов. Однако следует предупредить, что статья Ганди 1980 года [3] считается трудной даже для некоторых знатоков. Может оказаться полезным сначала ознакомиться с работами Дж. Шепердсона и А. Маковского в [4].

[1] Зиг, Уилфрид. Механические процедуры и математический опыт. [стр. 71-117 в математике и разуме. Материалы конференции по философии математики, состоявшейся в Амхерст-колледже, Амхерст, штат Массачусетс, 5-7 апреля 1991 года. Под редакцией Александра Джорджа. Logic Comput. Philos., Oxford Univ. Press, New York, 1994. ISBN: 0-19-507929-9 MR 96m: 00006 (Рецензент: Стюарт Шапиро) 00A30 (01A60 03A05 03D20)

[2] Одифредди, Пьерджорджо. Классическая теория рекурсии. Теория функций и множеств натуральных чисел. С предисловием Г. Э. Сакса. Исследования по логике и основам математики, 125. North-Holland Publishing Co., Амстердам-Нью-Йорк, 1989. xviii + 668 с. ISBN: 0-444-87295-7 MR 90d: 03072 (Рецензент: Родни Г. Дауни ) 03Dxx (03-02 03E15 03E45 03F30 68Q05)

[3] Ганди, Робин. Церковный тезис и принципы для механизмов. Клинийский симпозиум. Материалы Симпозиума, проведенного в Висконсинском университете, Мэдисон, Висконсин, 18-24 июня 1978 года. Под редакцией Джона Барвейса, Х. Джерома Кейслера и Кеннета Кунена. Исследования по логике и основам математики, 101. North-Holland Publishing Co., Амстердам-Нью-Йорк, 1980. xx + 425 с. ISBN: 0-444-85345-6 MR 82h: 03036 (Рецензент: Дуглас Цензер) 03D10 (03A05)

[4] Универсальная машина Тьюринга: полувековой обзор. Второе издание. Под редакцией Рольфа Херкена. Компьютеркультура [Компьютерная культура], II. Springer-Verlag, Вена, 1995. XVI + 611 стр. ISBN: 3-211-82637-8 MR 96j: 03005 03-06 (01A60 03D10 03D15 68-06)

Лучшая популярная дискуссия по этому вопросу, которую я когда-либо читал, - эссе профессора Массачусетского технологического института Скотта Ааронсона Кто может назвать большее число? , в котором он исследует, среди прочего, значение машин Супер-Тьюринга, машин Супер-Пупера-Тьюринга и машин Супер-Пупера-Пупера-Тьюринга.

Нет, ТМ не самые мощные. Два примера:

а) Могут быть другие машины, которые вычисляют те же результаты, что и ТМ, но алгоритмически быстрее (например, квантовые компьютеры, вычисляющие основные факторы). «Быстрее» - это тип силы.

б) ТМ не могут представлять общие действительные числа с идеальной точностью. Но Аналоговый Компьютер (АС) может быть способен представлять и выполнять арифметику с Действительными числами с идеальной точностью. Это было бы более мощным, чем любая ТМ.

Конечно, (б) требует, чтобы наша вселенная имела некоторые непрерывные свойства (гравитация?), Которые AC может использовать для представления реальных ценностей. Возможно каждое физическое свойство, включая гравитацию, квантуется. Но мы можем рассуждать о машинах в непрерывной вселенной. Так что ТМ не самые мощные "по определению".

Если вы посмотрите на сложность вычислений, то машина Тьюринга - самая мощная машина, потому что у нее неограниченная память, а на реальной машине ее нет. Любая реальная машина не может решить проблемы произвольного размера; они даже не могут прочитать проблему, а тем более решить ее.

С другой стороны, если вы попытаетесь реализовать реальную машину Тьюринга, скажем, с условием, что она останавливается и выдает сигнал тревоги, если у нее заканчивается лента, вы обнаружите, что для выполнения любого вида вычислений потребуется гораздо больше шагов. чем, скажем, настоящая машина в дешевом телефоне, и он будет гораздо медленнее в решении реальных проблем. Вы также обнаружите, что запись ответа на ленте не очень хороший пользовательский интерфейс. И вы обнаружите, что многие люди используют компьютеры не для решения проблем, а для отправки обнаженных фотографий своим друзьям и просмотра видео с кошками, и машина Тьюринга для этого вообще не нужна.