Функция, которая распространяет ввод

Я хотел бы знать, существует ли функция $f$ от n-битных чисел до n-битных чисел, которая имеет следующие характеристики:

• $f$ должно быть биективным
• Оба $f$ и $f^{-1}$ должны быть вычислены довольно быстро
• $f$ должен вернуть число, которое не имеет существенной корреляции с его вводом.

Обоснование таково:

Я хочу написать программу, которая работает с данными. Некоторая информация данных хранится в бинарном дереве поиска, где ключ поиска является символом алфавита. Со временем я добавляю дополнительные символы в алфавит. Новые символы просто получают следующий свободный номер. Следовательно, дерево всегда будет иметь небольшой уклон к более мелким ключам, что вызывает большую перебалансировку, чем я думаю, что это необходимо.

Моя идея состоит в том, чтобы искажать номера символов с помощью $f$ , чтобы они широко распространялись по всему диапазону $[0,2^{64}-1]$ . Поскольку номера символов имеют значение только во время ввода и вывода, что происходит только один раз, применение такой функции не должно быть слишком дорогим.

Я думал об одной итерации генератора случайных чисел Xorshift, но я не знаю, как отменить его, хотя теоретически это должно быть возможно.

Кто-нибудь знает такую ​​функцию?
Это хорошая идея?

Вы можете использовать хеширование Фибоначчи , а именно

.$\qquad h_F(k) = k \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{2} - \left\lfloor k \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \right\rfloor$

Для вы получите n попарно различных чисел (примерно), равномерно распределенных в [ 0 , 1 ] . Масштабируя до [ 1 .. M ] и округляя (вниз), вы получите примерно равномерное распределение чисел в этом интервале.$k=1,\dots,n$$n$$[0,1]$$[1..M]$

Например, это масштабированные до [ 0..10000 ] (исходная последовательность слева, отсортированная справа):$h_F(1), \dots, h_F(200)$$[0..10000]$

Это пример того, что Кнут называет мультипликативным хешированием . Для размера слова компьютера, A некоторое целое число относительно простого числа w и M количество необходимых адресов, мы используем$w$$A$$w$$M$

$\qquad h(k) = \left\lfloor M \left( \bigl( k \cdot \frac{A}{w}\bigr) \mod 1 \right) \right\rfloor$

как функция хеширования. Сказанное следует с (убедитесь, что вы можете вычислить его с достаточной точностью). Хотя это также работает с любым другим иррациональным числом, кромеϕ-1, это одно из двух чисел, которые приводят к «наиболее равномерно распределенным» числам.$A/w = \phi^{-1} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$$\phi^{-1}$

Узнайте больше в книге «Искусство компьютерного программирования» , том 3 Дональда Кнута (глава 6.4 на стр. 513 во втором издании). В частности, вы поймете, почему полученные числа попарно различны (по крайней мере, если ) и как вычислить обратную функцию, если вы используете натуральное $n \ll M$$A$ и вместо ϕ - 1 .$w$$\phi^{-1}$

Для битных входов эта функция работает:$k$

$\mathrm{hash}(n) = (n \bmod 2^{\lceil\frac{k}{2}\rceil})\cdot 2^{\lceil\frac{k}{2}\rceil} + n \,\mathrm{div}\, 2^{\lceil\frac{k}{2}\rceil}$

$\mathrm{hash}(\mathrm{hash}(n)) = n$$\{n,m\}, n < m$$\mathrm{hash}(m) < \mathrm{hash}(n)$$\{1,\dots,2^{\lceil\frac{k}{2}\rceil}-1\}$

Ссылка: обратимая хеш-функция