Литература о наивном подходе к изоморфизму графа путем проверки полиномов матриц смежности

Я описываю подход к изоморфизму графа, который, вероятно, имеет ложные срабатывания, и мне любопытно, есть ли литература, указывающая, что он не работает.

Учитывая две матрицы смежности , по общему признанию наивный метод проверки изоморфизма состоит в проверке, существует ли для каждой строки группы строка группы представляющая собой перестановку строки , обозначаемую . Чуть более строгим является вопрос, существует ли «локальный изоморфизм» для которого $G, H$ $u$ $G$ $v$ $G$ $u$ $G[u] \sim H[v]$ $\pi$ $G[u] \sim H[\pi(u)]$ для всех рядов. Создание локального изоморфизма можно осуществить за полиномиальное время, построив матрицу с ; тогда и локально изоморфны тогда и только тогда, когда имеет покрытие циклов, и каждое покрытие циклов является локальным изоморфизмом. $n\times n$ $A$ $A[u,v] = (G[u]\sim H[v])$ $G$ $H$ $A$

Все регулярные графы обманывают этот метод, очевидно, поэтому немного менее наивный подход состоит в том, чтобы вычислять степени матриц и проверять их на локальный изоморфизм, используя тот факт, что у вас есть несколько матриц. установив когда вы найдете любую мощность, такую что $G^2, H^2, G^3, H^3,\ldots$ $A[u,v] = 0$ $G^k[u]\not\sim H^k[v]$ и проверка покрытия цикла только в конце. Еще менее наивный подход состоит в том, чтобы найти набор многочленов, действительно набор арифметических схем, и установить когда мы найдем любой многочлен с . $A[u,v]=0$ $p$ $p(G)[u]\not\sim p(H)[v]$

Это выглядит как невероятно наивный подход к изоморфизму графа, поэтому я уверен, что кто-то уже исследовал его и доказал теорему, такую как

$n$ $n\times n$ $G, H$ $\pi$ $p$ $p(G)$ $p(H)$ $p(G)\overset{\pi}{\sim}p(H)$

Вопрос: есть ли такая теорема? Я посмотрел в литературе и не могу найти его.

$k$ $n$ $G^1, H^1, \ldots, G^{poly(n)}, H^{poly(n)}$ $p_1, \ldots ,p_k$ алгоритм изоморфизма графов. Если такие многочлены (или арифметические схемы) легко угадать, то у нас есть алгоритм coRP . Если всегда существует (семейство) арифметических схем, свидетельствующих о нелокальном изоморфизме, то это дает алгоритм coNP .

Обратите внимание, что мы можем избежать проблемы, заключающейся в том, что элементы мощных матриц становятся слишком большими, вычисляя многочлены над небольшими полями, например, вычисляя их по модулю небольших простых чисел. В алгоритме coNP проверяющий может предоставить эти простые числа.

reference-request graph-isomorphism

— Лиуве Винхуйзен
источник

Да, такая теорема есть, более или менее. В основном утверждается, что k-мерная процедура Вейсфейлера-Лемана объединяет (т.е. доминирует) все известные комбинаторные подходы к проверке изоморфизма графов. (Ваше конкретное предложение должно быть включено в 2-мерную процедуру Вайсфейлера-Лемана, если я не ошибаюсь.) Для каждого фиксированного k существует класс контрпримеров к k-мерной процедуре Вейсфейлера-Лемана, известный как Кай-Фюрер -Immmerman строительство.

Сначала я изучил основы процедуры Вайсфейлера-Лемана и конструкции Кая-Фюрера-Имммермана из

http://users.cecs.anu.edu.au/~pascal/docs/thesis_pascal_schweitzer.pdf

О процедуре Вайсфейлера-Лемана можно узнать гораздо больше, чем описано в ней, но, по крайней мере, обработка конструкции Цай-Фюрера-Имммермана завершена и достаточна для вашей цели. « Процедура Вейсфейлера-Лемана », автором которой является Викраман Арвинд, является недавним кратким эссе, предназначенным как приглашение к теме.

Возможно, решающим моментом, который стоит увести от моего ответа, является то, что если вы найдете чисто комбинаторный метод тестирования изоморфизма (такой, как описанный в вашем вопросе), который не включается (то есть доминирует) в k-мерную процедуру Вейсфайлера-Лемана, тогда это будет прорыв сам по себе, независимо от того, будет ли метод действительно полезным.

— Томас Климпел
источник