Доказательство неразрешимости проблемы остановки

У меня возникли проблемы с пониманием доказательства неразрешимости проблемы остановки.

Если возвращает то, останавливается ли программа a на входе b , почему мы должны передавать код P для a и b ?$H(a,b)$$a$$b$$P$$a$$b$

Почему мы не можем подать с помощью P и некоторого произвольного ввода, скажем, x ?$H()$$P$$x$

Цель доказательства - найти противоречие. Вы должны понять, что является противоречием, чтобы понять, почему используется как вход для себя. Противоречие неофициально: если у нас есть машина H (a, b), которая решает «a принимает b», то мы можем построить машину, которая принимает машины, которые не принимают себя. (Read , что несколько раз , пока вы не получите.) Машина , указанный на картинке - давайте назовем его M - M ( P ) = это P не принимает ⟨ P ⟩ ?$P$$M$$M(P) =$$P$$\langle P \rangle$

Противоречие происходит , когда вы спросите: это принимает ⟨ M ⟩ ? Попробуйте выработать два варианта, чтобы увидеть, как возникает противоречие.$M$$\langle M \rangle$

принимает ⟨ M ⟩ тогда и только тогдакогда M не принимает ⟨ M ⟩ ; это явно противоречие.$M$$\langle M \rangle$$M$$\langle M \rangle$

Вот почему важно, чтобы доказательство запускало на себе, а не на произвольном вводе. Это общая тема в доказательствах невозможности, известных как диагональные аргументы.$P$

Проигнорируйте картину на мгновение; мы доберемся до этого в ближайшее время. Предполагается, что программа является тестером остановки: когда мы даем H ввод программы a (представляем a как список программы) и что-нибудь вообще для b , H ( a , b ) действует следующим образом$H(a, b)$$H$$a$$a$$b$$H(a, b)$

1. Если программа представлена привалах , когда дается б в качестве входных данных, H ( , б ) будет отвечать «да». С другой стороны, если программа, описываемая командой run, работает вечно при заданном вводе b, то H ( a , b ) ответит «нет».$a$$b$$H(a, b)$$a$$b$$H(a, b)$
2. Важно отметить, что программа всегда будет останавливаться и давать правильный ответ для любых пар ( a , b ) .$H$$(a, b)$

Аргумент о том, что невозможно создать, основан на действии конкретной «порочной» программы P , которая использует H в качестве подпрограммы. P принимает в качестве входных данных список любой программы x и выполняет следующие действия:$H$$P$$H$$P$$x$

P(x) =
  run H(x, x)
  if H(x, x) answers "yes"
      loop forever
  else
      halt

Нетрудно понять, что

остановится тогда и только тогда, когда программа x будет работать вечно, если в качестве входных данных будет дано собственное описание.$P(x)$$x$

Пока все хорошо: , безусловно, будет программой, если ее подпрограмма H - это программа.$P$$H$

Теперь вернитесь к картинке. Что произойдет, если будет дано собственное описание в качестве входных данных? Изображение описывает именно этот сценарий: пусть p будет описанием программы P , затем, подставив в выделенную часть выше, мы получим$P$$p$$P$

остановится тогда и только тогда, когда программа P ( p ) будет работать вечно.$P(p)$$P(p)$

Понятно, что это парадоксальное поведение невозможно, поэтому мы вынуждены прийти к выводу, что подпрограмма не может быть тестером остановки, так как она терпит неудачу в одном случае, когда она задается ( p , p ) в качестве входных данных. Могут быть и другие случаи, когда H работает должным образом, но, поскольку H дает сбой хотя бы в одной ситуации, он не может быть полным тестером остановки, как требуется.$H$$(p, p)$$H$$H$

Попробуйте красивое доказательство с анимацией. А поскольку ответы должны содержать больше, чем просто ссылку на сайт, вот ответ на ваш вопрос.

Во-первых, давайте вспомним, как работает доказательство несуществования оракула Остановки. Мы доказываем, что для любого кандидата Hна оракула Halting существует программа Pи вход, aдля которого Hне удается правильно предсказать, что P(a)делает.

Теорема: Пусть Hлюбая программа , которая принимает два входа и всегда возвращают либо haltили loop. Тогда существует программа Qи входные данные a, которые Q(a)останавливаются тогда и только тогда, когда H(Q,a)возвращается loop.

Доказательство. Рассмотрим программу

program P(y):
  if H(y,y) = halt then
    loop forever
  else:
    return

Пусть Q = Pи a = P. Либо H(Q,a) = haltили H(Q,a) = loop:

• если H(Q,a) = haltтогда Q(a)(что справедливо P(P)) работает вечно по определению P.
• если H(Q,a) = loopтогда Q(a)остановится по определению P.

QED

Вы спросили, почему мы рассматривали, H(P,P)а не H(P,X)для какой-то другой X. Очевидный ответ «потому что H(P,P)это то, что заставляет доказательство работать»! Если бы вы использовали H(P,X)для какого-то произвольного X, то вы бы застряли. Действительно, тогда доказательство будет выглядеть так:

Сломанное доказательство. Рассмотрим программу

program P(y):
  if H(y,y) = halt then
    loop forever
  else:
    return

Пусть Q = Pи a = Xдля некоторых произвольно X. Либо H(Q,X) = haltили H(Q,X) = loop:

• предположим, H(Q,X) = haltтогда мы не можем сказать, что P(X)делает, потому что P(X)остановка зависит от того, что H(X,X)возвращает. Мы застряли. Однако, если бы мы знали об этом P(X)и X(X)были одинаковыми, мы могли бы добиться прогресса. (Итак, мы действительно должны принять X = P).
• если бы H(Q,a) = loopтогда мы снова застряли, и мы бы отклеились, если бы X = P.

Нет КЭД.

Я надеюсь, что это показывает, что мы должны рассмотреть H(P,P), чтобы наша идея работала.

Результатом доказательства является эта аналогия:

Если человек утверждает, что он / она ( $P$$_{(P)}$$P^{\prime}$$_{(P^{\prime})}$$P$$_{(P)}$$_{(P)}$$_{(P)}$

$_{(P)}$$_{(P^{\prime})}$