Уменьшить следующую проблему до SAT

Здесь проблема. Даны , где каждый T i ⊆ { 1 , … , n } . Существует ли подмножество S ⊆ { 1 , … , n } с размером не более k таким, что S ∩ T i ≠ ∅ для всех i ? Я пытаюсь свести эту проблему к SAT. Моя идея решения будет иметь переменную х $k, n, T_1, \ldots, T_m$$T_i \subseteq \{1, \ldots, n\}$$S \subseteq \{1, \ldots, n\}$$k$$S \cap T_i \neq \emptyset$$i$$x_i$ для каждого из 1 в . Для каждого T i создайте предложение ( x i $n$$T_i$ , если Т я = { я 1 , ... , я K } . Тогда и все эти пункты вместе. Но это явно не полное решение, так как оно не представляет ограничение, которое S должен иметь не более k элементов. Я знаю, что я должен создать больше переменных, но я просто не уверен, как. Итак, у меня есть два вопроса:$(x_{i_1} \vee \cdots \vee x_{i_k})$$T_i = \{i_1, \ldots, i_k\}$$S$$k$

1. Моя идея решения на правильном пути?
2. Как создать новые переменные, чтобы их можно было использовать для представления ограничения мощности ?$k$

Похоже, вы пытаетесь вычислить трансверсаль гиперграфа размера . То есть { T 1 , … , T m } - ваш гиперграф, а $k$$\{T_1,\dots,T_m\}$$S$ - ваш трансверсал. Стандартный перевод состоит в том, чтобы выразить предложения, как у вас, а затем перевести ограничение длины в ограничение количества элементов.

Поэтому используйте существующую кодировку, т. а затем добавьте предложения, кодирующие ∑ 1 ≤ i ≤ n x i ≤ k .$\bigwedge_{1 \le j \le m} \bigvee_{i \in T_j} x_i$$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$

- ограничение мощности. Существуют различные переводы ограничений кардинальности в SAT.$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$

Самый простой, но довольно большой перевод ограничения мощности - это просто . Таким образом, каждая дизъюнкция представляет ограничение ¬ ⋀ i ∈ X x i - для всех подмножеств X в { 1 , … , n $\bigwedge_{X \subseteq \{1,\dots,n\}, |X| = k+1} \bigvee_{i \in X} \neg x_i$$\neg \bigwedge_{i \in X} x_i$$X$$\{1,\dots,n\}$размером к + 1. Таким образом, мы гарантируем, что нет возможности установить более k переменных. Обратите внимание, что это не полиномиальный размер в $k$

Некоторые ссылки на статьи о более компактных переводах ограничений кардинальности, которые имеют полиномиальный размер в $k$ :

• Перевод псевдобулевых ограничений в SAT - Никлас Эен и Никлас Соренссон, JSAT vol. 2 (2006), стр. 1-26 (хороший обзор).
• Эффективное CNF-кодирование булевых ограничений мощности - Оливье Байо и Яцин Буфхад, Труды по принципам и практике программирования ограничений 2003, LNCS vol. 2833, pg 108-122 (хороший, довольно простой в реализации перевод).
• На пути к оптимальному кодированию CNF булевых ограничений кардинальности - Карстен Синз - Труды принципов и практики программирования ограничений 2005, LNCS 3709, pg 827-831.
• На пути к надежным кодировкам ограничений CNF - Жоао Маркес-Силва и Инес Линс, Труды по принципам и практике программирования ограничений, LNCS 4741, стр. 483-497.

Если вы действительно заинтересованы в решении таких проблем, возможно, лучше сформулировать их как псевдобулевы (см. Вики-статью о псевдобулевых задачах ) и использовать псевдобулевы решатели (см. Псевдобулевы соревнования ). Таким образом, ограничения мощности являются просто псевдобулевыми ограничениями и являются частью языка - надеюсь, псевдобулев решатель будет обрабатывать их напрямую и, следовательно, более эффективно.

$k$

$\Gamma_{2,1}^{+}$$\Gamma_{2,1}^{+}$

Я предполагаю, что вы ищете явное сокращение, но если нет, вы всегда можете просто вернуться к теореме Кука-Левина .