Интуиция за воротами Адамара

Я пытаюсь научить себя квантовым вычислениям, и у меня есть приличное понимание линейной алгебры.

Я прошел через ворота НЕ, что было не так уж плохо, но затем я добрался до ворот Адамара. И я застрял. Главным образом потому, что, хотя я «понимаю» манипуляции, я не понимаю, что они на самом деле делают или почему вы хотите их делать, если это имеет смысл.

Например, когда ворота Адамара принимает это дает | 0 ⟩ + | 1 $|0\rangle$ . Что это значит? Для НЕ ворот, он принимает| 0⟩и дает| 1⟩. В этом нет ничего неясного; она дает «противоположную» бита (для суперпозиции, он принимает вальфа|0⟩+& beta|1⟩и дает& beta|0⟩+& alpha|1⟩)и я понимаюпочему это полезно; по тем же причинам (в основном), что это полезно в классическом компьютере. Но что (например) является Адамара ворот делает геометрически к вектору[& alpha& beta$\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$$|0\rangle$$|1\rangle$$\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$$\beta|0\rangle + \alpha|1\rangle$$\begin{bmatrix}\alpha \\ \beta \end{bmatrix}$? И почему это полезно?

Ворота Адамара могут быть вашей первой встречей с созданием суперпозиции . Когда вы говорите, что можете связать полезность ворот Паули (он же ) с их классическим аналогом - тогда Адамар именно там, где вы покидаете сферу классического аналога. Это полезно точно по той же причине, однако, именно то , что он часто используется для формирования универсального набора вентилей (как clasical с и вентилятор-аут, или с вентилятором-одиночку).$X$NOTANDNOTNOR

В то время как один шлюз несколько напрямую полезен при генерации случайных чисел (как сказал Ювал Фильмус), его истинная сила проявляется при появлении в большем количестве случаев или в сочетании с другими воротами. Когда у вас есть n кубитов, инициализированных в | 0 ⟩ , к примеру, и применить один H к каждому из них в любом порядке, что вы получаете ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) ⊗ ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) ⊗ ... ⊗ ( | 0 ⟩ + |$H$$n$$|0\rangle$$H$ , которая может быть расширена до 1 / 2 л / 2 ⋅ ( | 00 ... 00 ⟩ + | 00 ... 01 ⟩ + | 00 ... 11 ⟩ + ... + | 11 ... 11 ⟩ ) Вуаля, мы можем Теперь оцените функции на 2 n разных входах параллельно! Это, например, первый шаг валгоритме Гровера.

$$(|0\rangle + |1\rangle) \otimes (|0\rangle + |1\rangle) \otimes \ldots \otimes (|0\rangle + |1\rangle) / 2^{n/2}$$ $$1/2^{n/2} \cdot (|00\ldots00\rangle + |00\ldots01\rangle + |00\ldots11\rangle + \ldots + |11\ldots11\rangle)$$ $2^n$

Другое популярное использование - Адамар на одном кубите, за которым следует CNOTконтролируемый кубит, который вы только что поместили в суперпозицию. См: Этосостояние Беллкоторый является краеугольным камнем различныхквантового распределения ключейпротоколовизмеренийоснове вычислений,квантовой телепортациии многих других приложений. Вы также можете использоватьнесколько раз на более нулевых инициализированными целевых кубитов (с тем же контролем)чтобы создать 2 - 1 / 2 ( | 00 ... 00 ⟩ + | 11 ... 11 ⟩ ) , который известен каксостояние GHZ

$$CNOT \big(2^{-1/2}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes|0\rangle \big) = 2^{-1/2} CNOT(|00\rangle + |10\rangle) = 2^{-1/2} (|00\rangle + |11\rangle)$$ CNOT $$2^{-1/2} (|00\ldots00\rangle + |11\ldots11\rangle)$$ Также очень полезно.

$H^2 = I$CNOT

---

NOT$x$$y$$z$CNOTв своем квантовом компьютере вы просто создаете очень дорогое и неэффективное классическое устройство.) Вращение с чем-то наклонено важно, и еще один ингредиент, который вам обычно нужен, также вращается на меньшую долю угла, например, на 45 ° (как в Фазе). сдвиг ворот ).

$\alpha \left|0\right\rangle + \beta \left|1\right\rangle$$|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$$0$$|\alpha|^2$$1$$|\beta|^2$$\left|0\right\rangle,\left|1\right\rangle$

$\left| 0 \right\rangle$$\frac{\left| 0 \right\rangle + \left| 1 \right\rangle}{\sqrt{2}}$

Согласно Википедии , ворота Адамара используются для формирования «случайного входа». Применительно к постоянному кубиту (т.е.$\left| 0 \right\rangle$$\left| 1 \right\rangle$

Я предлагаю вам продолжить чтение квантовых вычислений; когда вы доберетесь до квантовых алгоритмов (например, Гровера и Шора), вы поймете, для чего полезны все эти квантовые элементы.