Вопрос, касающийся машины Тьюринга с бесполезным состоянием

Итак, вот вопрос из прошлого теста в моем классе теории вычислений:

Бесполезное состояние в ТМ - это состояние, которое никогда не вводится ни в какую строку ввода. Пусть Докажите, что неразрешима.

$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}} = \{\langle M, q \rangle \mid q \text{ is a useless state in }M\}.$$ $\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

Я думаю, что у меня есть ответ, но я не уверен, что он правильный. Включит это в раздел ответов.

Это явно сводится к проблеме остановки. Если машина не останавливается на входе x, то любое конечное состояние «бесполезно». Учитывая вход M , x для задачи Остановки, легко построить M x, который останавливается на каждом входе (таким образом, его конечное состояние не бесполезно) тогда и только тогда, когда M останавливается на x . Таким образом, вы можете решить проблему остановки, если вы можете решить U S E L E S S T M , что приводит к противоречию.$M$$x$$M,x$$M_x$$M$$x$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

Для целей этого доказательства мы будем предполагать, что разрешимо, чтобы показать противоречие.$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

Создайте TM который выполняет следующее:$R$

• Конвертирует TM в автомат P с уменьшенным стеком (т. Е. Без требований LIFO). Это эквивалентно тому , ориентированный граф подробно переход между M состояниями «S.$M$$P$$M$
• Отметить начальное состояние .$P$
• Из начального состояния начните поиск в ширину по каждому исходящему ребру, отмечая каждый немаркированный узел.
• Когда поиск заканчивается, если есть какие-либо немаркированные узлы, которые соответствуют , принять ; в противном случае отклонить .$q$

Затем создайте TM = "На входе $$$S$

1. Создайте TM как показано выше.$R$
2. Запуск на R .$q$$R$
3. Если возвращает принять, принять ; если R бракованных, отвергают " $R$$R$

Таким образом, если является решающим фактором для U S E L E S S T M, то S является решающим фактором для A T M (проблема принятия). Поскольку доказано, что A T M неразрешима (см. Теорию вычисления Майкла Сипсера 4.11 на стр. 174), мы пришли к противоречию. Следовательно, исходная гипотеза неверна и U S E L E S S T M неразрешима.$R$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$$S$$A_{\mathrm{TM}}$$A_{\mathrm{TM}}$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$