Как согласованность подразумевает, что эвристика также допустима?

Эвристическая функция ...$h (n)$

• Согласованно, если оценочная стоимость от узла до цели не превышает стоимость шага для его преемника плюс расчетную стоимость от преемника до цели.n $n$$n'$
• Допустимо, если никогда не переоценивает истинную стоимость состояния цели.$h(n)$

В учебнике для моего курса по искусственному интеллекту говорится, что согласованность сильнее допустимости, но не доказывает это, и у меня возникают проблемы с математическим объяснением.

Чтобы доказать утверждение в вашем вопросе, давайте докажем, что согласованность подразумевает допустимость, тогда как обратное не обязательно верно. Это сделало бы согласованность более сильным условием, чем последнее.

Согласованность подразумевает допустимость:

Начнем с подчеркнуть , что , если эвристический функция является допустимой (где представляет собой цель) , так как краевые затраты предполагаются неотрицательным и , таким образом, стоимость оптимальной от одного узла к самому себе обязательно 0 Это, безусловно, имеет место, если эвристическая функция допустима, но мы хотим доказать, что согласованность обязательно подразумевает допустимость . Для этого предположим далее, что для любой цели - и этот факт будет использован в базовом случае ниже.h t h ( t ) = $h(t)=0$$h$$t$$h(t)=0$

Доказательство проводится по индукции:

Базовый случай : взять любой предшественник целевого узла . Пусть обозначим его, так что является правопреемником . Если эвристическая функция согласована , то и, следовательно, ведет себя допустимо в этом случае ,n t n h ( n ) ≤ c ( n , t ) + h ( t ) = c ( n , t ) + 0 = c ( n , t ) $t$$n$$t$$n$$h(n)\leq c(n,t) + h(t)=c(n,t) + 0 =c(n,t)$$h$

Обратите внимание, что в базовом случае не предполагается, что ребро обязательно является оптимальным решением от до и, действительно, может быть другой путь от до с меньшими затратами. Важность базового случая заключается в том, что для всех предков узла ! Этот результат будет повторно использован на этапе индукции.п т п т ч ( п ) ≤ C ( п , т ) $\langle n, t\rangle$$n$$t$$n$$t$$h(n)\leq c(n,t)$$t$

Шаг индукции : рассмотрим узел . Оптимальная стоимость для достижения цели из , , рассчитывается как: , где - множество наследников узла . Поскольку согласованность предполагает гипотеза, то . Кроме того, поскольку предполагается шагом индукции, то и это верно для все наследники узла . Другими словами:$n$$t$$n$$h^*(n)$$\min_{m\in\mathrm{SCS(n)}}\{c(n,m)+h^*(m)\}$$\mathrm{SCS}(n)$$n$$h(n)\leq c(n,n')+h(n')$$h(n')\leq h^*(n')$$h(n)\leq c(n,n')+h^*(n')$$n'$$n$$h(n)\leq \min_{m\in\mathrm{SCS(n)}}\{c(n,m)+h^*(m)\} = h^*(n)$ , так что .$h(n)\leq h^*(n)$

Приемлемость не обязательно подразумевает последовательность:

Для этого достаточно простого примера. Рассмотрим граф, который состоит из одного пути с 10 узлами: , где целью является . Будем считать , без потери общности , что все расходы края равны 1. Очевидно , и давайте , и . Понятно, что эвристическая функция допустима :$\langle n_0, n_1, n_2, ..., n_9\rangle$$n_9$$h^*(n_0)=9$$h(n_0)=8$$h(n_i)=1, 1\leq i<9$$h(n_9)=0$

1. $h(t)=0$
2. $h(n_i)=1\leq h^*(n_i)=(9-i)$ , .$\forall i, 1\leq i<9$
3. Наконец, .$h(n_0)=8\leq h^*(n_0)=9$

Однако не является согласованным и .$h(n)$$h(n_0)=8 > c(n_0, n_1)+h(n_1)=1+1=2$

Надеюсь это поможет,