Ссылки на сравнение между квантовыми компьютерами и машинами Тьюринга

Мне сказали, что квантовые компьютеры не являются вычислительно более мощными, чем машины Тьюринга. Может ли кто-нибудь любезно помочь дать некоторые литературные ссылки, объясняющие этот факт?

Что на самом деле дело в том , что что - то квантовый компьютер может вычислить, машина Тьюринга может также вычислить. (Это без комментариев вообще о том , как долго она берет машину Тьюринга для вычисления функции по сравнению с квантовым компьютером.)

Это на самом деле не сложно увидеть, если вы понимаете квантовые вычисления. Например, для квантового контура по типичному набору затворов результат определяется распределением вероятностей, которое определяется коэффициентами унитарной матрицы. Эта унитарная матрица является просто матричным произведением этих элементов и может быть вычислена - если вы достаточно терпеливы - с помощью классического компьютера. Таким образом, для чистой вычислимости (в отличие от эффективности) использование квантовых компьютеров не дает никаких преимуществ.

Вся проблема, возникающая из квантовой механики, состоит в том, чтобы определить, могут ли такие коэффициенты быть эффективно вычислены , что является более сложной задачей, чем то, могут ли они быть вычислены вообще .

Рассмотрим квантовые ворота. Сглаживание всех технических деталей, она может быть представлена в виде матрицы . Вход в вентиль, скажем, - это просто вектор , а выход вентиля - вектор .| ф ⟩ v G $G$$\vert \phi \rangle$$v$$Gv$

Теперь рассмотрим схему. Схема - это просто группа ворот , и сама схема может рассматриваться как «обобщенный вентиль» , который работает с входным состоянием (вектором ). [Опять же, это очень грубая абстракция.]С = О п ⋯ G 2 G 1$\{G_1, G_2, ... \}$$C=G_n \cdots G_2 G_1$$v$

В общем, вычисление схемы на входе - это просто вычисление вектора или . Понятно, что такую ​​задачу (умножение матрицы и умножение матрицы на вектор) может выполнить классическая ТМ, поэтому ТМ, по крайней мере, так же сильна, как квантовая ТМ (QTM) [хорошо, классические схемы так же сильны, как квантовая схем. не обращайте на это внимания.]С v G п ⋯ G 2 G 1$\vert \phi \rangle$$Cv$$G_n \cdots G_2 G_1 v$

С другой стороны, QTM тривиально так же силен, как и TM, и поэтому обе модели эквивалентны.

РЕДАКТИРОВАТЬ из-за комментариев
Чтобы спросить, какой «компьютер» является более мощным, нам нужно сначала уточнить, что значит быть «более мощным в вычислительном отношении». И эта полуфилософская дискуссия начинается с вопроса

Что такое вычисления ?

Является ли "воспроизведение MP3" файлов вычислением? Является ли вывод случайных чисел вычислением?

Стандартное определение гласит, что вычисление - это «вычисление функции». То есть для каждого входного (который может быть любой строкой любой конечной длины) выведите y = f ( x ) , где y снова может быть строкой произвольной (конечной) длины. Если ваш компьютер может вывести y для любого x , мы говорим, что он может вычислить f .$x$$y=f(x)$$y$$y$$x$$f$

Теперь, чтобы сказать , что компьютер «А» является более мощным , чем «B» просто означает , что вычисляет больше функций , чем B . По аналогии,$f$$B$

Две модели, и B считаются эквивалентными , если для любой функции F , A вычисляет F тогда и только тогда , когда B вычисляет е .$A$$B$$f$$A$$f$$B$$f$

Хорошо, вы говорите, но подождите секунду, есть случайность. Квантовый компьютер не просто выводит . Он выдает y 1 с вероятностью p 1 или y 2 с вероятностью p 2 или .... $y$$y_1$$p_1$$y_2$$p_2$$^0$

Действительно ... И это расширяет стандартное определение вычисления функции. Мы можем решить это и обобщить наши определения несколькими способами. (1) один вариант - сказать, что ответом является тот конкретный y i, который имеет вероятность p i > 0,75 (и существует не более одного такого значения) 1 . Если предположить, что f выводит только один бит, то «выход f ( x ) всегда хорошо определен 2. В противном случае, если такого значения не существует и все выходы имеют малую вероятность, мы можем сказать $f(x)$$y_i$$p_i>0.75$$^1$$f$$f(x)$$^2$$f$не определен на этом входе; (2) Второй вариант должен сказать , что выход список ( у 1 , р 1 ) , ( у 2 , р 2 ) , . , , , Для того, чтобы это было правильно определено, у нас должен быть конечный список, так как мы требовали, чтобы выходная строка была конечной.$f(x)$$(y_1,p_1), (y_2,p_2),...$

С учетом вышесказанного должно быть ясно, что наличие вероятностей не меняет мощность модели, и классический TM может просто вывести список возможных выходных данных вместе с вероятностью для каждого выходного. это именно то, что происходит, когда ТМ умножает матрицы и выводит вектор - вектор представляет вероятность каждого возможного результата измерения.

^{$^0$
$^1$$p=0.75$$1/2$
$^2$$f$}

другие ответы верны, просто хочу добавить тот, который подчеркивает, что это действительно очень глубокий (в основном все еще открытый / нерешенный) вопрос, лежащий в основе многих современных исследований в области разделения классов сложности и квантовых и классических вычислений. они функционально эквивалентны, поскольку компьютеры ТМ и QM доказали свою полную готовность по Тьюрингу ; Есть несколько способов доказать это.

но эквивалентность в теории сложности очень сильно зависит от временных и пространственных тонкостей / эффективности, то есть ресурсов для вычисления конкретных алгоритмов. а также огромное количество исследований, посвященных «шуму» в вычислениях QM, в которых рассматривается, что теоретические бесшумные модели могут быть «нереальными» или не достижимыми на практике, а реальные модели могут иметь / будут иметь значительный шум. Существуют сложные схемы для снижения этого шума и т. д .; есть несколько превосходных комментариев по этому поводу в различных постах в блоге RJ Liptons, например, летательные аппараты 21-го века

например, Шор доказал, что факторинг в BQP, классе квантовых алгоритмов, выполняющихся за время P, доказал, что в то же время было запущено большое количество серьезных исследований / исследований в области вычислений QM из-за драматического результат.

$\stackrel{?}{=}$

Скотт Ааронсон - отличный писатель / исследователь в этой области, он написал несколько статей, доступных для непрофессионала. см., например, «Ограничение компьютеров QM, SciAm или вычислений QM, обещает новое понимание, Нью-Йорк Таймс» .