Существуют ли параллельные матричные алгоритмы возведения в степень, которые более эффективны, чем последовательное умножение?

Требуется найти степень (целое положительное число) матрицы действительных чисел. Существует множество эффективных алгоритмов умножения матриц (например, некоторые параллельные алгоритмы - Кэннона, DNS ), но существуют ли алгоритмы, предназначенные именно для определения мощности матрицы и более эффективные, чем последовательное выполнение умножения матриц? Я особенно заинтересован в параллельных алгоритмах.

Если у вас есть несколько процессоров, которые могут работать параллельно, то вы можете рассчитать любую мощность до мощности (2 ^ k) за k шагов. Например: чтобы вычислить , вы рассчитываете:$M^{15}$

Этап 1: Рассчитать $M^2$

Этап 2: Рассчитать и M 4 = M 2 ∗ M $M^3 = M^2 * M$$M^4 = M^2 * M^2$

Этап 3: вычислить и M 8 = M 4 ∗ M $M^7 = M^4 * M^3$$M^8 = M^4 * M^4$

Этап 4: Расчет $M^{15} = M^8 * M^7$

Это на одно умножение больше, чем вычисление в трех умножениях и повышение M 5 до третьей степени в двух других умножениях, но должно быть быстрее, если у вас есть два процессора. Для произвольной высокой мощности вам понадобится больше процессоров.$M^5$$M^5$

Если вы используете алгоритм перебора для умножения, умножая строку на столбец, вы можете сэкономить некоторое время, рассчитав одну строку продукта, а затем сразу же использовать эту строку для следующего продукта. Это помогло бы при расчете , где можно начать вычисление M 3 , как только первый ряд M 2 был рассчитан; это не будет то , что полезно с M 4 , так как нам нужны обе строки и столбцы М 2 . Для больших держав вы, вероятно, могли бы определить, какие полномочия рассчитывать.$M^3$$M^3$$M^2$$M^4$$M^2$

И после публикации этого становится очевидным , что вы можете использовать несколько процессоры очень легко: Вы начинаете путем вычисления первой строки . Когда у вас есть этот ряд, у вас есть вся информация, необходимая для вычисления первой строки M 3 = M 2 ∗ M , поэтому вы рассчитываете второй ряд M 2 и первый ряд M 3 параллельно. Затем вы можете рассчитать третий ряд М 2 , второй ряд М 3 и первый ряд М 4 параллельно и так далее.$M^2 = M * M$$M^3 = M^2 * M$$M^2$$M^3$$M^2$$M^3$$M^4$

Это будет выполнять намного больше операций, чем необходимо (например, 14 умножений матриц для вместо минимальных 5 или 6 четырехэтапного метода). Если мощность невелика по сравнению с количеством процессоров, это все равно будет быстрее. Но вычисление M 1000 с четырьмя процессорами с использованием этого метода будет неэффективным; сделать это оптимальным способом было бы интересной проблемой.$M^{15}$$M^{1000}$

Комбинирование подходов: например, используя четыре процессора, вы можете вычислять AB, ABC, ABCD и ABCDE практически параллельно, вычисляя каждый продукт по одной строке за раз. Это позволяет рассчитать все четыре от до M 5, используя четыре процессора примерно за одно время, как один продукт с одним процессором.$M^2$$M^5$

Учитывая эти четыре результата и оригинальный M, вы можете вычислить четыре из матриц до М 25 в то же время снова, при условии , что матрицы в большинстве пяти держав друг от друга. Таким образом , каждая мощность до М 25 может быть рассчитана примерно в два раз времени одного процессора матричного продукта.$M^6$$M^{25}$$M^{25}$

С помощью этих вычисленных матриц все матрицы до и еще несколько до M 125 можно рассчитать в три раза за время одного матричного продукта, если доступны четыре процессора. С k процессорами это должно возрасти как минимум до мощности k ( k + 1 ) 2 .$M^{108}$$M^{125}$$k (k+1)^2$

Существует два уровня, с помощью которых можно анализировать параллельные ускорения с помощью возведения в степень матрицы: «макро-алгоритмический» уровень, который решает, какие матрицы умножать, и «микро-алгоритмический» уровень, где вы можете ускорить сами умножения с помощью параллелизма.

Для последнего Википедия предполагает, что для умножения матрицы на n мы можем достичь сложности O ( log 2 ( n ) ) теоретически с неограниченным числом процессоров или O ( n ) с более реалистичным параллельным алгоритмом.$n$$n$$O(\log^2(n))$$O(n)$

(Примечание: страница википедии предназначена для общих матриц-вычислений. Я не уверен, что это можно распараллелить еще дальше, используя информацию о том, что мы возводим в квадрат матрицу.)

$A^m$$A$

$A^k$$O(\log(k))$

Вопрос в том, можем ли мы победить это параллелизмом? Я утверждаю, что ответ - нет.

Простая причина заключается в том, что возведение в степень посредством возведения в квадрат является по сути алгоритмом динамического программирования; это позволяет вам пропустить всю работу, повторно используя подрезультаты, но это, в свою очередь, создает зависимость данных, которая запрещает параллелизм. Если мы избавимся от зависимости от данных, но мы также значительно увеличим объем работы, которую мы должны сделать.

$k$

$\frac{k}{2}$

$k$$O(\log(k))$

Однако, если бы мы выполнили возведение в степень таким образом, это выглядело бы так:

$A^2$

$A^k$$n$$n$$A$$O(\log^2(n)\log(k))$$O(n\log(k))$

$m$$\log m$$2$$m$