Проблема с кучей файлов из CLRS

Я запутался, решая следующую проблему (вопросы 1–3).

Вопрос

Д -ичные куч, как двоичные кучи, но (с одним возможным исключением) узлы без листьев имеют d детей вместо 2 -х детей.

1. Как бы вы представили d -ary кучу в массиве?

2. Какова высота d- дневной кучи из n элементов в терминах n и d ?

3. Дайте эффективную реализацию EXTRACT-MAX в d -ary max-heap. Проанализируйте время его работы с точки зрения d и n .

4. _{Дайте эффективную реализацию INSERT в d -ary max-heap. Проанализируйте время его работы с точки зрения d и n .}

5. _{Дайте эффективную реализацию INCREASE-KEY ( A , i , k ), которая помечает ошибку, если k <A [i] = k, и затем соответствующим образом обновляет структуру кучи d- матрицы. Проанализируйте время его работы с точки зрения d и n .}

Мое решение

1. Дайте массив $A[a_1 .. a_n]$

   $\qquad \begin{align} \text{root} &: a_1\\ \text{level 1} &: a_{2} \dots a_{2+d-1}\\ \text{level 2} &: a_{2+d} \dots a_{2+d+d^2-1}\\ &\vdots\\ \text{level k} &: a_{2+\sum\limits_{i=1}^{k-1}d^i} \dots a_{2+\sum\limits_{i=1}^{k}d^i-1} \end{align}$

   → Моя запись кажется немного сложной. Есть ли другой, более простой?

2. Пусть h обозначает высоту d -ой кучи.

   Предположим, что куча представляет собой полное d -ное дерево

   $$1+d+d^2+..+d^h=n\\ \dfrac{d^{h+1}-1}{d-1}=n\\ h=log_d[n{d-1}+1] - 1$$

3. Это моя реализация:

   EXTRACT-MAX(A)
   1  if A.heapsize < 1
   2      error "heap underflow"
   3  max = A[1]
   4  A[1] = A[A.heapsize]
   5  A.heap-size = A.heap-size - 1
   6  MAX-HEAPIFY(A, 1)
   7  return max
   
   MAX-HEAPIFY(A, i)
   1  assign depthk-children to AUX[1..d]
   2  for k=1 to d
   3      compare A[i] with AUX[k]
   4      if A[i] <= AUX[k]
   5          exchange A[i] with AUX[k]
   6          k = largest
   7  assign AUX[1..d] back to A[depthk-children]
   8  if largest != i
   9      MAX-HEAPIFY(A, (2+(1+d+d^2+..+d^{k-1})+(largest-1) )
   

   • Время работы MAX-HEAPIFY:

     $$T_M = d(c_8*d + (c_9+..+c_13)*d +c_14*d)$$ $c_i$

   • $$T_E = (c_1+..+c_7) + T_M \leq C*d*h\\ = C*d*(log_d[n(d-1)+1] - 1)\\ = O(dlog_d[n(d-1)])$$

   → Это эффективное решение? Или в моем решении что-то не так?

1. Ваше решение действительно и соответствует определению d -ary heap. Но, как вы указали, ваши обозначения немного сложны.

   Вы можете использовать эти две следующие функции для получения родительского элемента i-го элемента и j-го дочернего элемента i-го элемента.

   $\text{d-ary-parent}({\it i}) \\ \ \ \ \ {\bf return}\ \lfloor (i-2)/d + 1 \rfloor$

   $\text{d-ary-child}(i, j) \\ \ \ \ \ {\bf return}\ d(i-1)+j+1$

   $1 \le j \le d$$\text{d-ary-parent}(\text{d-ary-child}(i,j)) = i$

   $d$$d=2$$d$$2$

2. $h = log_d(n\,d-1+1) - 1$$\log_d(n\,d) - 1 = \log_d(n) + \log_d(d) - 1 = \log_d(n) + 1 - 1 = \log_d(n)$$\Theta(\log_d(n))$

   $c$$\Theta$

3. $AUX$$\text{d-ary-parent}$$\text{d-ary-child}$

   $\text{EXTRACT-MAX}$$\text{MAX-HEAPIFY}$$O(d\ \log_d(n(d-1)))$

   $O(d\ \log_d(n(d-1))) = O(d(\log_d(n) + \log(d-1))) = O(d\ log_d(n) + d\ \log_d(d-1))$

   $d \ll n$$d \log_d(d-1)$$O(d\log_d(n))$$\text{MAX-HEAPIFY}$$O$$\Theta$

4. Книга CLRS уже предоставляет процедуру INSERT. Который выглядит так:

   $\text{INSERT}(A, key)\\ \ \ \ \ A.heap\_size = A.heap\_size + 1 \\ \ \ \ \ A[A.heap\_size] = -\infty\\ \ \ \ \ \text{INCREASE-KEY}(A, A.heap\_size, key)$

   $O(\log_d(n))$

5. Как и INSERT, INCREASE-KEY также определен в учебнике как:

   $\text{INCREASE-KEY}(A, i, key)\\ \ \ \ \ {\bf if}\ key < A[i]\\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\bf error} \text{"new key is smaller then current"}\\ \ \ \ \ A[i] = key\\ \ \ \ \ {\bf while}\ i > 1\ and\ A[i] > A[\text{d-ary-parent}(i)]\\ \ \ \ \ \ \ \ \ A[i] \leftrightarrow A[\text{d-ary-parent(i)}]\\ \ \ \ \ \ \ \ \ i = \text{d-ary-parent(i)}$

   $O(\log_d(n))$

Ответ на второй вопрос: h = log _d (n (d-1) + 1) - 1 Итак, h = log _d (nd - n + 1) - 1