Сжатие двух целых чисел без учета порядка

Сравнивая упорядоченную пару (x, y) с неупорядоченной парой {x, y} (set), затем теоретически определяем, что разница составляет всего один бит, так как x идет первым или y требуется ровно один бит для представления.

Итак, если нам дан набор {x, y}, где x, y - два разных 32-разрядных целых числа, можем ли мы упаковать их в 63 бита (точнее, в 64)? Должна быть возможность восстановить исходные 32-битные целые числа из 63-битного результата, но без возможности восстановить их порядок.

Да, можно. Если , сопоставьте множество с числом$x<y$$\{x,y\}$

Легко показать, что биективен, и поэтому он может быть уникально декодирован. Кроме того, когда , мы имеем , поэтому это отображает множество до 63-битного числа . Для декодирования вы можете использовать бинарный поиск по или взять квадратный корень: должно быть примерно .$f$$0 \le x < y < 2^{32}$$0 \le f(x,y) < 2^{63} - 2^{31}$$\{x,y\}$$f(x,y)$$y$$y$$\lfloor \sqrt{2 f(x,y)} \rfloor$

В дополнение к ответу DW обратите внимание, что это частный случай Комбинаторной системы счисления , которая компактно отображает строго убывающую последовательность неотрицательных целых чисел в c k > ⋯ > c 1 N = k ∑ i = 1 ( c $k$$c_k > \cdots > c_1$

Это число имеет простую интерпретацию. Если мы упорядочим эти последовательности лексикографически, то подсчитывает количество меньших последовательностей.$N$

Для декодирования просто присвойте наибольшее значение, такое что и декодируйте как -последовательность.( с $c_k$N- ( c$\binom{c_k}{k} \leq N$ (k-1$N - \binom{c_k}{k}$$(k-1)$

Общее количество неупорядоченных пар чисел в наборе из равно . Общее количество неупорядоченных пар различных чисел равно . Для представления упорядоченной пары чисел требуется битов, и, если у вас на один бит меньше, вы можете представить элементы пространства до . Количество неупорядоченных не обязательно различимых пар немного больше половины количества упорядоченных пар, поэтому вы не можете сохранить бит в представлении; количество неупорядоченных пар немного меньше половины, поэтому вы можете немного сэкономить.N ( N + 1 ) / 2 N ( N - 1 ) / 2 2 лог 2 ( Н ) = войти 2 ( N 2 ) N 2 /$N$$N(N+1)/2$$N(N-1)/2$$2 \log_2(N) = \log_2(N^2)$$N^2/2$

Для практической схемы, которую легко вычислить, так как является степенью 2, вы можете работать с побитовым представлением. Возьмем где - оператор XOR (побитовый исключающий или). Пара может быть восстановлена ​​из или . Теперь мы будем искать хитрость для сохранения одного бита во второй части и придания симметричной роли и чтобы порядок не мог быть восстановлен. Учитывая приведенное выше вычисление мощности, мы знаем, что эта схема не будет работать в случае, когда .a = x ⊕ y ⊕ { x , y } ( a , x ) ( a , y ) x y x = $N$$a = x \oplus y$$\oplus$$\{x,y\}$$(a, x)$$(a, y)$$x$$y$$x=y$

Если то есть битовая позиция, в которой они отличаются. Я напишу для го бита (то есть ), а также для . Пусть займет позицию наименьшего бита, где и различаются: - наименьшее такое что . является наименьшим таким, что : мы можем восстановить из . Пусть будет либо либо$x \ne y$$x_i$$i$$x$$x = \sum_i x_i 2^i$$y$$k$$x$$y$$k$$i$$x_i \ne y_i$$k$$i$$a_i = 1$$k$$a$$b$$x$$y$со стертым битом (т. е. или ) - чтобы сделать конструкцию симметричной, выберите если и , и выберите если и . Используйте в качестве компактного представления пары. Исходная пара может быть восстановлена ​​путем вычисления бита самого младшего порядка, который установлен в , вставки 0 битов в этой позиции в (с получением одного из или ) и взятия xor этого числа с помощью$k$$b = \sum_{i<k} x_i 2^i + \sum_{i>k} x_i 2^{i-1}$$b = \sum_{i<k} y_i 2^i + \sum_{i>k} y_i 2^{i-1}$$x$$x_k=0$$y_k=1$$y$$x_k=1$$y_k=0$$(a,b)$$a$$b$$x$$y$$a$(получая другой элемент пары).

В этом представлении может быть любым ненулевым числом, а может быть любым числом с половиной диапазона. Это проверка работоспособности: мы получаем именно ожидаемое количество представлений неупорядоченных пар.$a$$b$

В псевдокоде, с ^, &, |, <<, >>, представляют ~собой С-подобных операторов поразрядными (XOR, и, или, сдвига влево, сдвига вправо, дополнение):

encode(x, y) =
  let a = x ^ y
  let k = lowest_set_bit_position(a)
  let low_mask = (1 << k) - 1
  let z = if x & (1 << k) = 0 then x else y
  return (a, (z & low_mask) | (z & ~low_mask) >> 1)
decode(a, b) =
  let k = lowest_set_bit_position(a)
  let low_mask = (1 << k) - 1
  let x = (b & low_mask) | ((b & ~low_mask) << 1)
  return (x, a ^ x)

Неконструктивное доказательство: имеется неупорядоченных пары разных 32-битных целых чисел.$(2^{32}\times 2^{32} - 2^{32})/2 = 2^{31}(2^{32}-1)<2^{63}$