Заполнение бункеров парами шаров

Контейнер называется полным, если он содержит не менее шаров. Наша цель - заполнить как можно больше ящиков. $k$

В простейшем сценарии нам дано шаров, и мы можем расположить их произвольно. В этом случае, очевидно, лучшее, что мы можем сделать, - это произвольно выбрать мусорных ведер и положить шаров в каждый из них. $n$ $\lfloor n/k \rfloor$ $k$

Меня интересует следующий сценарий: нам дано пар шаров. Мы должны поместить два шара каждой пары в два разных контейнера. Затем противник приходит и удаляет один шар из каждой пары. Что мы можем сделать, чтобы получить максимально возможное количество полных корзин после удаления? $n$

Простая стратегия такова: выбрать пар бинов. Заполните каждую пару шарами (каждый бин содержит шара, по одному шару от каждой пары). Затем, независимо от того, что удаляет наш противник, в каждой паре бинов есть хотя бы один полный бин. $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$ $2k-1$ $2k-1$

Есть ли у нас стратегия, которая позволяет получить большее количество полных корзин (больше, чем )? $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$

combinatorics balls-and-bins

— Эрель Сегал-Халеви
источник

Я не верю в это

— Зак Сауцер

n

$n$ дается и дается? зависит от ?

k

$k$

k

$k$

n

$n$

— Зло

@ EvilJS и даны и являются независимыми.

n

$n$

k

$k$

— Эрель Сегал-Халеви

Размещает ли игрок все свои пар шаров, а затем противник выбирает шаров? Или игрок кладет пару шаров, а затем противник выбирает один из этой пары, а затем игрок ставит следующую пару, и противник выбирает один и так до тех пор, пока не останется больше пар шариков для размещения?

n

$n$

n

$n$

— ротия

@rotia Игрок помещает все свои n пар шаров, а затем противник выбирает n шаров.

— Эрель Сегал-Халеви

TL; DR - нет, нет лучшей стратегии, чем простая стратегия. Вот основная идея доказательства. Когда шаров не хватает, будет «дорожка шаров» от корзины с полками до корзины с не более чем шарами. Противник может передать мяч из этого полного бина в этот менее полный бункер по этому пути, что можно делать несколько раз, пока число полных бинов не уменьшится. $k$ $k-2$ $k$

Переформулировка в теории графов

Предположим, нам дан простой конечный граф с функцией . Мы говорим, что в ребре есть шаров . Пусть будет (конечное ребро) множество . Если удовлетворяет для каждого ребра , мы говорим, что это -distributing. Любая -распределительная функция индуцирует функцию, которую мы используем одним и тем же символом, , , Мы говорим, что $G(V,E)$ $w: E\to\Bbb Z_{\ge 0}$ $w(e)$ $e$ $E_2$ $\{(e,v)| e\in E, v\in e\}$ $d:E_2\to\Bbb Z_{\ge 0}$ $w(e)=d(e,v_1) + d(e,v_2)$ $e=\{v_1,v_2\}$ $d$ $w$ $w$ $d$ $d:V\to\Bbb Z_{\ge 0}$ $d(v) =\sum_{v\in e}d(e,v)$ $d(v)$ шары находятся в . Учитывая , пусть , число -полных вершин на . $v$ $k\in\Bbb Z_{\gt0}$ $F_k(d)=\#\{v\in V|d(v)\ge k\}$ $k$ $d$

(Теорема Эрла-Апаса). Для любого простого конечного графа и имеем $G(V,E)$ $w:E\to\Bbb Z_{\ge0}$ $\sum_{e\in E}w(e)\geq (2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)$

Представьте, что каждая вершина является мусорным ведром. Для каждого ребра , шариковой пары помещают в и , каждый из которых получать шаров. Среди этих шаровых пар противник может забрать шаров из и шаров из . Конечный результат такой же, как если бы, учитывая изначально все пустые ячейки, для каждого ребра , в него помещаются шарики , а затем и шары распределены по и $e=\{v_1,v_2\}$ $w(e)$ $v_1$ $v_2$ $w(e)$ $w(e)$ $d(e,v_2)$ $v_1$ $d(e,v_1)$ $v_2$ $e=\{v_1, v_2\}$ $w(e)$ $d(e,v_1)$ $d(e,v_2)$ $v_1$ $v_2$ соответственно противником. Следовательно, теорема Эрла-Апаса говорит о том, что для обеспечения k-полных корзин после удаления умного противника необходимо по крайней мере пар шаров. $t$ $(2k-1)t$ Другими словами, оптимальной стратегией, позволяющей иметь максимально возможное количество оставшихся бинов, является действительно «простая стратегия», которая многократно заполняет другую пару бинов шариковыми парами, пока у нас не будет достаточно шаров для повторения. $2k-1$

Доказательство теоремы

Для противоречия, пусть и - контрпример, число вершин которого наименьшее среди всех контрпримеров. То есть, есть -distributing таким образом, что минимален среди всех из -distributing функции . Кроме того, $G(V,E)$ $w$ $w$ $m$ $F_k(m)$ $F_k(d)$ $w$ $d$

\sum_{e \in E} w (e) < (2 k - 1) F_{k} (m)

$\sum_{e\in E}w(e)\lt (2k-1)F_k(m)$

Пусть . Пусть . Так что . $V_s=\{v\in V | m(v)\le k-2\}$ $V_\ell=\{v\in V|m(v)\geq k\}$ $F_k(m)=\#V_\ell$

Утвердите одно: . $V_s\neq\emptyset$
Доказательство претензии один. Предположим, что в противном случае пуст. Давайте также повторно использовать как функцию из в такую что для любого . $V_s$

\sum_{v \in V} m (v) = (k - 1) # V + \sum_{v \in V} (m (v) - (k - 1)) \geq (k - 1) # V + # V_{ℓ} > (k - 1) # V

$\sum_{v\in V}m(v)= (k-1)\#V +\sum_{v\in V}(m(v)-(k-1)) \ge (k-1)\#V + \#V_\ell \gt (k-1)\#V$

w

$w$

V

$V$

Z_{\geq 0}

$\Bbb Z_{\ge 0}$

w (v) = \sum_{v \in e} w (e)

$w(v)=\sum_{v\in e}w(e)$

v \in V

$v\in V$

\begin{aligned} \sum_{v \in V} w (v) & = \sum_{v \in V} \sum_{v \in e} w (e) = \sum_{e \in E} \sum_{v \in e} w (e) = \sum_{e \in E} 2 w (e) = 2 \sum_{e \in E} w (e) \\ = 2 \sum_{e \in E} \sum_{v \in e} m (e, v) = 2 \sum_{v \in V} \sum_{v \in e} m (e, v) = 2 \sum_{v \in V} m (v) \\ > 2 (k - 1) # V \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{v\in V}w(v) &=\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }w(e) =\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}w(e) =\sum_{e\in E}2w(e) =2\sum_{e\in E}w(e)\\ &=2\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}m(e,v) =2\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }m(e,v) =2\sum_{v\in V}m(v)\\ &\gt 2(k-1)\#V \end{align}$ Так что должна быть вершина такая, что .

b

$b$

w (b) \geq 2 k - 1

$w(b)\ge 2k-1$

Рассмотрим индуцированные установки и , где , - индуцированный граф и где . Для любой -распределяющей функции мы можем расширить ее до -распределительной функции где совпадает с на а для каждого ребра смежного с . Обратите внимание, что так как $G'(V', E')$ $w'$ $V'=V\setminus\{b\}$ $G'(V', E')$ $G[V']$ $w'=w|_{E'}$ $w'$ $d'$ $w$ $d_{d'}$ $d_{d'}$ $d'$ $E'$ $d_{d'}(e, b)=w(e)$ $e$ $b$ $F_k(d_{d'})= F_k(d') + 1$ $d_{d'}(b)=\sum_{b\in e}d_{d'}(e,b) = \sum_{b\in e}w(e)=w(b)\ge 2k-1\ge k$ . Тогда Таким образом, и представляет собой контрпример, число вершин меньше , чем число вершин в . Это не может быть верным по нашему предположению о и . Так что утверждение одно доказано.

\begin{aligned} \sum_{e \in E^{'}} w^{'} (e) & \leq \sum_{e \in E} w (e) - w (b) \\ < (2 k - 1) F_{k} (m) - (2 k - 1) \\ = (2 k - 1) (min_{w -distributing d} F_{k} (d) - 1) \\ \leq (2 k - 1) (min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d_{d^{'}}) - 1) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e) - w(b)\\ &\lt (2k-1)F_k(m) -(2k-1)\\ &=(2k-1) \left(\min_{w\text{-distributing }d}F_k(d) -1\right)\\ &\le (2k-1) \left(\min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})-1\right)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$

w^{'}

$w'$

G

$G$

G (V, E)

$G(V,E)$

w

$w$

Для любой вершины определите достижимый из вершины если существует путь , такой, что . Пусть . $v$ $v$ $d$ $u$ $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ $m\ge0$ $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ $V_r=V_\ell\cup \{v\in V|\exists u\in V_\ell \text{ and } v\text{ is } m\text{-reachable from } u \}$

Претензии два: $V_r = V$
Доказательство п два: пусть . Для любой вершины и , поскольку мы не можем достичь из , если - ребро, то Рассмотрим индуцированная установка и , где , - индуцированный граф и где . Для любой -распределительной функции , $V_r\neq V$ $v\in V_r$ $u\notin V_r$ $u$ $v$ $\{v, u\}$ $w(\{v, u\}, v) = 0.$ $G'(V', E')$ $w'$ $v'=V_r$ $G'(V', E')$ $G[V']$ $w'=w|_{E'}$ $w'$ $d'$ $w$ $d_{d'}$ где такой же, как на и такой же, как на других ребрах. Обратите внимание, что поскольку все вершины с не менее чем шарами находятся в . Тогда Итак, и $d_{d'}$ $d'$ $E'$ $m$ $F_k(d_{d'})= F_k(d')$ $k$ $V_\ell\subset V_r$

\begin{aligned} \sum_{e \in E^{'}} w^{'} (e) & \leq \sum_{e \in E} w (e) \\ < (2 k - 1) F_{k} (m) \\ = (2 k - 1) min_{w -distributing d} F_{k} (d) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d_{d^{'}}) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e)\\ &\lt (2k-1)F_k(m)\\ &=(2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$

w^{'}

$w'$

G

$G$ , Это не может быть правдой из нашего предположения о и . Итак, утверждение два доказано.

G (V, E)

$G(V,E)$

w

$w$

Теперь докажем теорему.

Поскольку и , существует путь , с , и . Построим новую -распределительную функцию из так, чтобы $V_r=V$ $V_s\neq\emptyset$ $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ $m\ge0$ $m(u)\gt k$ $m(v)\leq k-2$ $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ $w$ $r(m)$ $m$

r (m) (e, u) = {\begin{cases} m ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i}) - 1 & if (e, u) = ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i}) for some 0 \leq i \leq m \\ m ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i + 1}) + 1 & if (e, u) = ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i + 1}) for some 0 \leq i \leq m \\ m (e, u) & otherwise \end{cases}

$r(m)(e, u)= \begin{cases} m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i) -1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_i)\text { for some } 0\le i\le m\\ m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_{i+1}) +1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_{i+1})\text { for some } 0\le i\le m\\ m(e,u) &\text{ otherwise } \end{cases}$

$m$ и согласованы по всем вершинам, кроме и , и . Мы можем применить эту процедуру к чтобы получить . Повторяя это время для некоторого достаточно большого , мы получим функцию распределения с . Тем не менее, мы предположили , что является минимальным среди из -distributing функции $r(m)$ $v$ $u$ $m(v)\lt r(m)(v)\le k-1$ $r(m)(u)\lt m(u)$ $r(m)$ $r^2(m)$ $i$ $i$ $w$ $r^i(m)$ $F_k(r^i(m))=0$ $F_k(m)>0$ $F(d)$ $w$ $d$ , Это противоречие показывает, что мы доказали теорему Эрла-Апаса.

— Джон Л.
источник

Я прочитал доказательство, это выглядит хорошо. На самом деле, если я правильно понимаю, он является еще более общим, поскольку он допускает произвольный граф - мой вопрос - это особый случай, когда G - полный граф. Это верно? Другой вопрос: где именно доказательство использует тот факт, что m таково, что Fk (m) минимально? Я вижу, что он используется только в последнем абзаце - верны ли предыдущие утверждения в доказательстве без этого факта?

— Эрель Сегал-Халеви

Да, теорема верна для любого графа, поскольку в нем говорится «для любого (простого конечного) графа G (V, E)». Минимальность необходимо для каждой претензии. Если вы ищете «контрпример», вы найдете, где используется минимальность.

F_{k} (m)

$F_k(m)$

— Джон Л.