Рандомизированная складываемая куча

Рандомизированные связываемые кучи имеют операцию «соединение», которую мы затем используем для определения всех других операций, включая вставку.

Вопрос в том, какова ожидаемая высота этого дерева с узлами? $n$

Теорема 1 Гамбина и Малинковского « Рандомизированные смешиваемые приоритетные очереди» (Труды SOFSEM 1998, лекция по информатике, том 1521, с. 344–349, 1998; PDF ) дает ответ на этот вопрос с доказательством. Однако я не понимаю, почему мы можем написать:

E [h_{Q}] = \frac{1}{2} ((1 + E [h_{Q_{L}}]) + (1 + E [h_{Q_{R}}])) .

$\mathbb{E} [ h_Q] = \frac{1}{2} ((1 + \mathbb{E}[h_{Q_L}]) + (1 + \mathbb{E}[h_{Q_R}]))\,.$

Для меня высота дерева

h_{Q} = 1 + max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}},

$h_Q = 1 + \max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}\,,$

который я могу расширить до:

E [h_{Q}] = 1 + E [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}}] = 1 + \sum k P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k] .

$\mathbb{E} [ h_Q] = 1 + \mathbb{E}[\max \,\{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}] = 1 + \sum k \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k]\,.$

Вероятность того, что максимум высоты двух поддеревьев равен $k$ можно переписать, используя закон полной вероятности:

\begin{aligned} P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k] \\ = P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k ∣ h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k ∣ h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] \\ = P [h_{Q_{R}} = k ∣ h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [h_{Q_{L}} = k ∣ h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] . \end{aligned}

$\begin{align*} \hspace{2em}&\hspace{-2em} \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k] \\ &= \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L}\leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em} + \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \\ &= \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,. \end{align*}$

Итак, в конце я получаю:

\begin{aligned} E [h_{Q}] & = 1 + \sum k {P [h_{Q_{R}} = k ∣ h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [h_{Q_{L}} = k ∣ h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}]} . \end{aligned}

$\begin{align*}\mathbb{E} [ h_Q] &= 1 + \sum k \{ \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \}\,. \end{align*}$

Вот где я застрял. Я вижу, что более или менее равен (однако нам нужно самое большее ) , Но кроме этого ничего не привело к формуле с самого начала. $\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]$ $\frac{1}{2}$ $\leq \frac{1}{2}$

Высоты поддеревьев не кажутся мне независимыми.

Спасибо за помощь.

— Матеуш Вышинский
источник

В статье не высота. Это длина случайного отхода от корня в полном двоичном дереве (они настаивают на том, что каждый лист «ноль»), поэтому выражение, которое они имеют, является правильным. $h_Q$

Кроме того, вы можете избежать индукции. Вероятность окончания на конкретном листе глубины составляет всего . Таким образом, ожидаемая продолжительность прогулки $d$ $2^{-d}$

\sum_{ℓ \in leaves (Q)} depth (ℓ) 2^{- depth (ℓ)}

$\sum_{\ell\in \text{leaves}(Q)} \text{depth}(\ell)2^{-\text{depth}(\ell)}$

какая энтропия распределения множество размеров, $|\text{leaves}(Q)|$

— Луис
источник

Не могли бы вы объяснить более подробно, почему я не должен использовать индукцию? Я согласен с формулой ожидаемой длины. Я просто не понимаю, почему это должно быть O (logn)? Что вы подразумеваете под энтропией распределения по строкам?

— Матеуш Вышинский

Поскольку хорошо известно, что энтропия распределения на множестве размера максимизируется равномерным распределением, в этом случае оно равно .

n

$n$

\log n

$\log n$

— Луи

Рандомизированная складываемая куча - ожидаемая высота