Когда две симуляции не являются бисимуляцией?

Для заданной помеченной системы переходов , где - набор состояний, - набор меток, а - троичное отношение. Как обычно, напишите для . Помеченный переход обозначает, что система в состоянии меняет состояние на с меткой , что означает, что - это некоторое наблюдаемое действие, вызывающее изменение состояния.$(S,\Lambda,\to)$$S$$\Lambda$$\to\subseteq S\times\Lambda\times S$$p \stackrel\alpha\rightarrow q$$(p,\alpha,q)\in\to$$p\stackrel\alpha\to q$$p$$q$$\alpha$$\alpha$

Теперь отношение называется имитацией, если $R \subseteq S \times S$

$$\forall (p,q)\in R, \text{ if } p \stackrel\alpha\rightarrow p' \text{ then } \exists q', \; q \stackrel\alpha\rightarrow q' \text{ and } (p',q')\in R.$$

Один LTS считается имитирующим другого, если между ними существует отношение симуляции.

Аналогично, отношение является бисимуляцией, если$R \subseteq S \times S$$\forall (p,q)\in R,$

$$\begin{array}{l} \text{ if } p \stackrel\alpha\rightarrow p' \text{ then } \exists q', \; q \stackrel\alpha\rightarrow q' \text{ and } (p',q')\in R \text{ and } \\ \text{ if } q \stackrel\alpha\rightarrow q' \text{ then } \exists p', \; p \stackrel\alpha\rightarrow p' \text{ and } (p',q')\in R. \end{array}$$

Говорят, что две LTS являются бизоподобными, если между их пространствами состояний существует бисимуляция.

Очевидно, что эти два понятия довольно связаны, но они не совпадают.

При каких условиях LTS имитирует другую, и наоборот, но две LTS не похожи друг на друга?

Поскольку процесс CCS стоит тысячу пикселей - и легко увидеть лежащий в основе LTS - вот два процесса, которые имитируют друг друга, но не похожи друг на друга:

$$P = ab + a$$ $$Q = ab$$

$\mathcal{R_1}=\{(ab+a, ab), (b, b), (0,b), (0, 0)\}$ является симуляцией.

$\mathcal{R_2}=\{(ab, ab+a), (b, b), (0,0)\}$ является симуляцией.

$P\ \mathcal R_1\ Q$ и но и не являются бизоподобными. Почему нет? Потому что и единственный такой, что есть ..., а не является бизлоподобным .$Q\ \mathcal R_2\ P$$P$$Q$$P\stackrel{a}→0$$Q'$$Q\stackrel{a}→Q'$$b$$0$$b$

Почему они могут имитировать друг друга? Потому что имитирует поскольку он может делать все, что делаетИ симулирует , потому что даже если может идти в одном -шаговым к программе , которая ничего не делает, все еще может сделать это -шаговом, и это все , что нужно , чтобы имитировать что - то. Ключевое отличие от бисимуляции в том, что, как сказал Чарльз, вы должны связать одни и те же процессы с обоими симуляциями. (то есть такой, что и являются симуляциями)$P$$Q$$Q$$Q$$P$$P$$a$$Q$$a$$\mathcal R$$\mathcal R$$\mathcal R^{-1}$

Даже если в каждом направлении есть моделирование, моделирование назад и вперед может не относиться к одним и тем же наборам состояний. Иногда у вас есть симуляция в одном направлении и симуляция в другом направлении, и два состояния и которые связаны с но не с ни с каким-либо другим моделированием в том же направлении.$R_1$$R_2$$p_1$$q$$R_1$$R_2$

Канонический пример - две системы, которые имеют одинаковые следы, но делают выбор по- разному. Рассмотрим два автомата для напитков: первый автомат (злой) берет монету ( c) и недетерминированно решает, доставить ли чашку чая ( t). Вторая машина (хорошая) берет монету ( c) и доставляет чашку чая ( t).

Хорошая машина имитирует злую машину: возьмите . Все исходящие переходы всех состояний покрыты, включая (который не имеет исходящего перехода, поэтому он тривиален). Обратите внимание, как хорошая машина забывает разницу между и .$R_1 = \{(s,s'), (p,p'), (q,q'), (r,p')\}$$r$$r$$p$

Злая машина имитирует хорошую машину: возьмите . Состояние оказывается не используемым в этом моделировании. Фактически, для симуляции невозможно использовать , поскольку должен отображаться в состояние, из которого возможна трасса длины , поэтому это должно быть ; должен отображаться на преемника с меткой , так что это или , но это состояние также должно иметь возможный след длины , поэтому оно должно быть ; и по тем же причинам должен отображаться в$R_2 = \{(s',s),(p',p),(q',q)\}$$r$$r$$s'$$2$$s$$p'$$s'$$c$$p$$r$$1$$p$$q'$$q$ , не оставляя возможности отображения любого состояния в .$r$

Simuation в одном направлении необходимо отправить где - то. Симуляция в другом направлении должна избегать . Поэтому не существует отношения, которое представляет собой симуляцию в обоих направлениях: системы не являются двойственными.$r$$r$

Разница между этими двумя машинами заключается в том, что хорошая машина является детерминированной и (при условии живости) всегда доставляет чай, если вы вставляете монету, тогда как злая машина может по прихоти взять монету, но застрянет и не сможет доставить чай.

Такое различие часто возникает при изучении параллельных систем. Ответ jmad показывает процесс CCS с этим LTS.

Для получения дополнительной информации о бисимуляции я рекомендую заметки Давиде Сангиорги « О происхождении бисимуляции и коиндукции» . (Это упражнение 1 стр. 29, и в примечаниях используется тот же пример.)

Ответ Жиля очень хороший и формальный, и действительно, если моделируется с помощью с отношением , а моделируется с помощью с обратным к , то является бисимуляцией.$LTS_1$$LTS_2$$R$$LTS_2$$LTS_1$$R$$R$

Однако, если эти два отношения не являются обратными друг другу, вы не сможете построить бисимуляцию. Например, простой пример проистекает из того факта, что пустое отношение является симуляцией для любой LTS. Таким образом, мы можем получить , смоделированный с отношением , а , смоделированный с пустым отношением, и все же не обязательно является бисимуляцией (хотя обратите внимание, что пустое отношение также является бисимуляцией для любой LTS).$LTS_1$$LTS_2$$R$$LTS_2$$LTS_1$$R$