Наибольшая сумма, делимая на n

Я задал этот вопрос на StackOverflow , но я думаю, что это более подходящее место.

Это проблема из курса Введение в алгоритмы :

У вас есть массив с положительными целыми числами (массив не нужно сортировать или элементы уникальны). Предложите алгоритм , чтобы найти наибольшую сумму элементов, которая делится на . $a$ $n$ $O(n)$ $n$

Пример: . Ответ (с элементами ) $a = [6, 1, 13, 4, 9, 8, 25], n = 7$ $56$ $6, 13, 4, 8, 25$

Относительно легко найти его в используя динамическое программирование и сохраняя наибольшую сумму с остатком . $O(n^2)$ $0, 1, 2,..., n - 1$

Кроме того, если мы ограничим внимание последовательной последовательностью элементов, легко найти оптимальную такую последовательность за времени, сохраняя частичные суммы по модулю $O(n)$ $n$ : let $S[i]=a[0]+a[1]+\dots + a[i]$ , для каждого остатка $r$ запомните наибольший индекстакой что, а затем для каждогорассмотримгдеиндекс, соответствующий $j$ $S[j] \equiv r \pmod{n}$ $i$ $S[j]-S[i]$ $j$ $r=S[i] \bmod n$ .

Но есть ли -временное решение для общего случая? Любые предложения будут оценены! Я считаю, что это имеет отношение к линейной алгебре, но я не уверен, что именно. $O(n)$

Или же это можно сделать за ? $O(n \log n)$

— дельта-терминатор
источник

1. Вы разместили точно такой же вопрос на переполнение стека. Пожалуйста , не размещайте один и тот же вопрос на нескольких сайтах . Мы не хотим, чтобы несколько копий распространялись на нескольких сайтах SE. Если вы не получили приемлемый ответ, можно пометить ваш вопрос для перехода на другой сайт, но не размещайте то же самое в другом месте. 2. Можете ли вы дать ссылку / цитату / ссылку на учебник или курс, где он появился? Насколько вы уверены, что существует -временное решение?

O (n)

$O(n)$

— DW

Вызов в вашем университете все еще открыт? Было бы очень полезно увидеть ссылку на курс, точный вопрос, и если это действительно

и люди, которые его подготовили, объяснят / опубликуют свой ответ, это было бы здорово.

O (n)

$O(n)$

— Зло

Относительно легко найти его в O (n2) O (n2), используя динамическое программирование и сохраняя наибольшую сумму с остатком 0,1,2, ..., n − 10,1,2, ..., n − 1. Не могли бы вы уточнить это немного? Я могу понять, как это будет n-квадрат, если мы рассмотрим только смежные элементы, но также и с несмежными элементами, разве это не будет экспоненциальным по порядку?

— Nithish Inpursuit Ofhappiness

Ответы:

Вот несколько случайных идей:

Алгоритм динамического программирования можно перевернуть, чтобы найти наименьшую сумму вместо самой большой суммы. В итоге вы просто ищете сумму, равную остатку от суммы всего массива, а не одну равную нулю. Если мы обрабатываем элементы в порядке возрастания, это иногда позволяет динамическому алгоритму завершить работу перед обработкой всего массива.

Стоимость была бы если бы мы обработали элементов. В этом алгоритме нет нижней границы , потому что нам не нужно сортировать все элементы. Требуется только чтобы получить наименьших элементов. $O(n k)$ $k$ $\Omega(n \log n)$ $O(n \log k)$ $k$
Если бы мы заботились о наборе с размером larget, а не о наборе с наибольшей суммой, мы могли бы использовать умножение на основе быстрого фурье-преобразования для решения задачи в время. Аналогично тому, что сделано в 3SUM, когда диапазон доменов ограничен. (Примечание: используйте повторный квадрат для выполнения двоичного поиска, иначе вы получите где $O(n (\log n)^2 (\log \log n))$ $O(n k (\log n) (\log \log n))$ $k$ количество пропущенных элементов.)
Когда составное, а почти все остатки кратны одному из факторов , можно сэкономить значительное время, сосредоточив внимание на остатках, не кратных этому фактору. $n$ $n$
Когда остаток rвстречается очень часто или присутствуют только несколько остатков, отслеживание информации «следующий открытый слот, если вы начинаете отсюда и продолжаете продвигаться по r», может сэкономить много сканирований для прыжков в открытые места. время.
Вы можете уменьшить логарифмический коэффициент , только отслеживая достижимость и используя битовые маски (в динамическом алгоритме с переворачиванием), а затем возвращаясь назад, когда достигнете целевого остатка.
Алгоритм динамического программирования очень удобен для параллельной работы. С процессором для каждого слота буфера вы можете перейти к . В качестве альтернативы, используя широту и разделяя и завоевывая агрегацию вместо итеративного агрегирования, стоимость глубины канала может доходить до . $O(n)$ $O(n^2)$ $O(\log^2 n)$
(Мета) Я сильно подозреваю, что проблема, которую вам дали, связана с непрерывными суммами. Если вы связались с реальной проблемой, это было бы легко проверить. В противном случае я очень удивлен тем, насколько сложна эта проблема, учитывая, что она была задана в курсе под названием «Введение в алгоритмы». Но, может быть, вы рассмотрели трюк в классе, который делает его тривиальным.

— Крейг Гидни
источник

Для начала. Это не написано в спецификациях проблемы, поэтому вы не можете этого допустить. Кроме того, проблема не в том, что вы не можете изменить массив или создать новые, вы действительно можете. Единственное, что вам нужно сделать, это найти числа, которые суммируются, дают вам наибольшую сумму, которая делится на

сложности времени (обычно это предполагается только сложность времени).

n

$n$

O (n)

$O(n)$

— Nbro

@EvilJS Подмножество с наибольшей суммой с остатком 0 равно полному набору после удаления подмножества с наименьшей суммой с остатком, совпадающим с суммой полного набора. Поиск наименьшей суммы, конгруэнтной

, более удобен, чем поиск наименьшей суммы, конгруэнтной

поскольку она позволяет завершить работу, как только вы найдете решение (при обработке элементов в возрастающем порядке), вместо того, чтобы продолжать.

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

— Крейг Гидни

-1

Мой предложенный алгоритм выглядит следующим образом:

Сумма делится на n, если вы добавляете только слагаемые, кратные n.

Перед началом вы создаете хэш-карту с int в качестве ключа и списком индексов в качестве значения. Вы также создаете список результатов, содержащий индексы.

Затем вы перебираете массив и добавляете каждый индекс, у которого mod n равен нулю, в ваш список результатов. Для каждого другого индекса вы делаете следующее:

Вы вычитаете значение mod n этого индекса из n. Этот результат является ключом для вашей хэш-карты, в которой хранятся индексы для элементов с требуемым значением. Теперь вы добавляете этот индекс в список в hashmap и двигаетесь дальше.

После того, как вы закончили цикл по массиву, вы вычисляете вывод. Вы делаете это путем сортировки каждого списка в хэш-карте в соответствии со значением, на которое указывает индекс. Теперь вы рассматриваете каждую пару в хэш-карте, суммирующую до n. Поэтому, если n = 7, вы ищите в хэш-карте 3 и 4. Если вы получили запись в обоих, вы берете два самых больших значения, удаляете их из своих списков и добавляете их в свой список результатов.

Последняя рекомендация: по-прежнему не тестируйте алгоритм, напишите тестовый сценарий для него, используя алгоритм перебора.

— Тобиас Вюрфль
источник

Жадный, линейный, не работает. Вы рассматриваете только элементы, которые делятся на n, а пары делятся на n, как насчет троек и других? Это не гарантирует максимальную сумму подмножества в тривиальном случае. [2, 1, 8] -> максимальная сумма равна 9, но ваш алгоритм возвращает 3.

— Зло

n^{2}

$n^2$

Спасибо, что указали мне на эту ошибку. Моя идея по улучшению заключается в том, чтобы создать хэш-карту из стеков списков, упорядоченных по возрастанию значения и начать накапливать только после завершения прохода через массив.

— Тобиас Вюрфль

Вы имеете в виду массив массивов, которые будут отсортированы, и "hashmap" равен% n? Вам все еще нужно отсортировать их, и если они отсортированы, то брать минимальное / максимальное значение можно, но все же есть неотъемлемая часть фактического выбора подмножества, что в худшем случае не приносит пользы. Во всяком случае, если у вас есть некоторые улучшения, может быть, вы могли бы редактировать пост?

— Зло

Да, это была довольно быстрая идея со стеками. На самом деле вам нужны только списки в хэш-карте, которую вы сортируете. Я не был уверен, вежливо ли редактировать мой первый ответ. В конце концов, я допустил ошибку в своей первой попытке.

— Тобиас Вюрфль

-2

используйте этот метод DP из ( /programming/4487438/maximum-sum-of-non-consecutive-elements?rq=1 ):

Для данного массива A [0..n] пусть M (i) будет оптимальным решением с использованием элементов с индексами 0..i. Тогда M (-1) = 0 (используется в повторении), M (0) = A [0] и M (i) = max (M (i - 1), M (i - 2) + A [i ]) для i = 1, ..., n. M (n) - решение, которое мы хотим. Это O (n) . Вы можете использовать другой массив для хранения того, какой выбор сделан для каждой подзадачи, и таким образом восстановить фактические выбранные элементы.

Измените рекурсию на M (i) = max (M (i - 1), M (i - 2) + A [i]) так, чтобы она сохранялась, только если она делится на N

— тупица
источник

Это не работает - я дам вам понять, почему. (Подсказка: попробуйте запустить его на массиве констант 1.) Кроме того, в этой задаче мы разрешаем последовательные элементы.

— Ювал Фильмус

Это очень хорошее решение, просто для совершенно другой (и гораздо более простой) проблемы.

— Зло