Поиск примеров «антипалиндромных» языков

Пусть . Язык Говорят , обладает свойством «анти-палиндром» , если для каждой строки , что является палиндром, . Кроме того, для каждой строки которая не является палиндромом, либо либо , но не оба (!) (Исключая или).L ⊆ Σ ∗ w w ∉ L u u ∈ L R e v e r s e ( u ) ∈ $\Sigma = \{ 0, 1 \}$$L \subseteq \Sigma^*$$w$$w\notin L$$u$$u\in L$$\mathrm{Reverse}(u) \in L$

Я понимаю свойство антипалиндрома, но не смог найти ни одного языка с таким свойством. Ближайший один я смог найти , но он не имеет исключительное или часть ... то есть, например, как и находятся в .01 10 $\Sigma^* \setminus L$$01$$10$$L$

Может ли кто-нибудь дать мне пример языка, который обладает этим свойством? Или, может быть, даже больше, чем один пример, потому что я не вижу, какие ограничения это накладывает на язык. (Должен ли он быть нерегулярным? Context Free? Или даже не в ? И т. Д.)$R$

Одним из примеров будет .$L = \{ x\ \ |\ \ binary(x) < binary(x^R), x\in [0,1]^*\}$

И еще один пример .$L' = \{ x\ \ |\ \ binary(x) > binary(x^R), x\in [0,1]^*\}$

Идея в том, что если вы создаете правило для выбора только одного из них. Вам нужно выбрать правило так, чтобы палиндромы были отклонены ( f ( x ) < f ( x R ) , для палиндромов у вас должно быть f ( x ) = f ( x R ) ). Вы также можете изменить алфавит, я взял двоичный алфавит, чтобы получить быстрый ответ.$x \neq x^R$$f(x) < f(x^R)$$f(x)= f(x^R)$

и L ' выше не являются регулярными. И каждыйантипалиндромныйязык будет нерегулярным и может быть таким же плохим, как не-RE язык. Пример неразрешимого языка: L = { x | такой, что b i n a r y ( x ) < b i n a r y ( x R ), если оба x и x R ∉ Halt или оба x и x R ∈ Halt, в противном случае, если$L$$L'$$L=\{x\ \ |\ \ $$binary(x)<binary(x^R)$$x$$x^R$ $\not\in$$x$$x^R$ $\in$ Halt$x \in$$\}$

Клаус Дрегер объяснил в комментарии ниже, что антипалиндромный язык, приведенный в начале ответа, не зависит от контекста: $L=\{x0y1x^R\ |\ x,y\in\{0,1\}^*\}$

О генерации нескольких примеров:

Опираясь на ответ @shreesh, мы можем доказать, что каждый антипалиндромный язык должен иметь вид длянекоторогострогого полного упорядочения < .

Действительно, для любого антипалиндрома мы можем определить ассоциированный < следующим образом. Мы начнем с любого перечисления x 0 , x 1 , ... из { 0 , 1 } ∗ , где каждое слово встречается ровно один раз. Затем мы изменяем перечисление: для каждой пары непалиндромов x , x R мы меняем их положение так, чтобы один, принадлежащий L, появлялся перед другим. Новое перечисление индуцирует полный порядок < удовлетворяющий ( ∗ ) .$L$$<$$x_0,x_1,\ldots$$\{0,1\}^*$$x,x^R$$L$$<$$(*)$

То, что каждый определенный как ( ∗ ), не является палиндромом, тривиально, поэтому ( ∗ ) является полной характеристикой непалиндромных языков.$L$$(*)$$(*)$

Обращаясь к исходному вопросу, мы теперь знаем, что мы можем получить несколько примеров антипалиндромных языков , создав заказы < . Мы также знаем, что этим мы не ограничиваемся подклассом языков, теряя общность.$L$$<$

По поводу вопроса «могут ли эти языки быть регулярными?»:

Чтобы доказать, что любой антипалиндром нерегулярен, предположим, что он является регулярным.$L$

1. Поскольку регулярность сохраняется путем обращения , также является регулярной.$L^R$
2. Поскольку регулярность сохраняется за счет объединения, , который является множеством всех непалиндромов, также является регулярным.$L \cup L^R$
3. Поскольку регулярность сохраняется дополнением, множество всех палиндромов является регулярным.

Из последнего утверждения мы можем вывести противоречие с помощью накачки. (Смотрите, например, здесь для решения)

Для чего стоит эта простая грамматика без контекста для одного антипалиндромного языка:

(Фактически, это антипалиндромный язык, предложенный @shreesh, использующий лексикографическое сравнение для оператора меньше чем.)