Определение PTAS против FPTAS

Из того, что я прочитал в preliminary version of a chapter of the book “Lectures on Scheduling” edited by R.H. M¨ohring, C.N. Potts, A.S. Schulz, G.J. Woeginger, L.A. Wolsey, to appear around 2011 A.D.

Это определение PTAS :

Схема аппроксимации полиномиального времени ( PTAS ) для задачи - это схема аппроксимации, сложность по времени которой является полиномиальной по размеру входных данных.$X$

и определение FPTAS

Схема полиномиальной аппроксимации по времени ( FPTAS ) для задачи является схемой аппроксимации, сложность по времени которой полиномиальна по размеру входных данных, а также полиномиальна по 1 / .$X$$\epsilon$

Тогда писатель говорит:

Следовательно, для PTAS было бы приемлемо иметь временную сложность, пропорциональную гдеразмер входного файла, хотя эта временная сложность экспоненциально в . FPTAS не может иметь временную сложность, которая экспоненциально возрастает в но временная сложность, пропорциональная , вполне подойдет. Что касается аппроксимации в наихудшем случае, FPTAS является самым сильным результатом, который мы можем получить для NP-трудной задачи. | Я | 1 / ϵ 1 / ϵ | Я | 8 / ε $|I|^{1/\epsilon}$$|I|$$1/\epsilon$$1/\epsilon$$|I|^8/\epsilon^3$

Затем он предложил следующий рисунок, чтобы проиллюстрировать отношения между классами задач:

Вот мои вопросы:

1. Из определения PTAS и определения FPTAS как автор приходит к выводу, что FPTAS не может иметь временную сложность, которая экспоненциально возрастает в ? и какая разница, если он может иметь такую ​​временную сложность?$1/\epsilon$

2. Временная сложность, такая как , приемлема для FPTAS, но не для PTAS , тогда почему FPTAS считается подмножеством PTAS ?$(n+1/\epsilon)^3$

3. Что он имеет в виду: FPTAS - это самый сильный результат, который мы можем получить для NP-трудной задачи.

4. В совокупности я хотел бы знать, что именно означают эти понятия и каковы их отличительные свойства.

Заранее спасибо.

Позвольте мне ответить на ваши вопросы по порядку:

1. По определению, задача имеет FPTAS, если существует алгоритм, который в случаях длины $n$ дает $1+\epsilon$ -приближение и выполняется в полиноме по времени от $n$ и $1/\epsilon$ , то есть $O((n/\epsilon)^C)$ для некоторая постоянная $C \geq 0$ . Работающий время $2^{1/\epsilon}$ не принадлежит $O((n/\epsilon)^C)$ для любого $C$ .
   Алгоритм, время выполнения которой $O((n/\epsilon)^C)$ лучше , чем алгоритм, время работы только гарантированно $O(n^C e^{D/\epsilon})$ , так как зависимость от $\epsilon$ лучше для первого алгоритма. Кроме того, для любого $E$ мы можем найти E- аппроксимацию $1+1/n^E$ за полиномиальное время, используя первый алгоритм, но не используя второй (по крайней мере, с учетом данной гарантии).

2. Проблема, в которой $1+\epsilon$ -приближение может быть найдено во времени $(n+1/\epsilon)^3$ , определенно лежит в PTAS, поскольку для каждого $\epsilon$ это $O(n^3)$ (упражнение) и, следовательно, полином от $n$ .

3. Авторы имели в виду, что поскольку задача NP-сложной оптимизации не может быть решена точно за полиномиальное время, лучшее, на что мы можем надеяться, это то, что она будет $\epsilon$ приближенной за полиномиальное время и, кроме того, с хорошей зависимостью от $\epsilon$ , Среди общих классов сложности FPTAS дает самую сильную гарантию зависимости от $\epsilon$ . Но на практике мы иногда получаем еще лучшую гарантию: время выполнения полиномиально по $n$ и по $\log(1/\epsilon)$, Так что не совсем верно, что FPTAS - самый сильный результат; это только самый сильный возможный результат среди опций PTAS, FPTAS, P. Если бы мы создали новый класс LPTAS (соответствующий полиному времени от $n$ и в $\log(1/\epsilon)$ ), то это было бы более сильной гарантией.

4. Учитывая NP-сложную задачу оптимизации, она не может быть решена точно за полиномиальное время; лучшее, на что можно надеяться, - это приблизиться к нему эффективно. Некоторые проблемы NP-трудно приблизить к некоторой константе $C>1$ . Что касается других, то можно решить проблему произвольно хорошо за полиномиальное время, и эти проблемы имеют PTAS и поэтому относятся к классу PTAS. Это может быть , что $1+\epsilon$ -приближение занимает много времени , пропорциональное $e^{1/\epsilon}$ , и поэтому мы можем применить только это эффективны при постоянном $\epsilon$ . Если проблема имеет FPTAS (и, следовательно, принадлежит классу FPTAS), то мы знаем, что зависимость от $\epsilon$только полином, и поэтому мы можем аппроксимировать эффективно в пределах $1+1/n^C$ для любого $C$ .

$|I|=n$$\epsilon$$n^{1/\epsilon}$$n$$\epsilon$$\epsilon$$1/\epsilon$$n$$\mathrm{poly}(n,1/\epsilon)$$n^4 (1/\epsilon)^3 + (1/\epsilon)^8$$n^{1/\epsilon}$$n$$1/\epsilon$