Как мне проверить, что DFA эквивалентен NFA?

Я учусь конвертировать NFA в DFA и хочу убедиться, что все делаю правильно. Очевидно, что возвращение в другом направлении - это не вещь. Кто-нибудь знает алгоритм проверки, что DFA эквивалентен NFA?

Это проблемный вопрос. Есть способ проверить эквивалентность автоматов, который я сейчас объясню, но, боюсь, это вам не поможет, как вы увидите в конце.

Напомним, что два множества и B равны тогда и только тогда, когда A ⊆ B и B ⊆ A (это определение равенства множеств). Таким образом, вам достаточно проверить, что L $A$$B$$A\subseteq B$$B\subseteq A$ и L ( N ) ⊆ L ( D ) , где D и N являются ваш DFA и NFA, соответственно.$L(D)\subseteq L(N)$$L(N)\subseteq L(D)$$D$$N$

Но как вы проверяете содержание языков, вы можете спросить. Ну, теперь понаблюдайте тогда и только тогда, когда A ∩ ¯ B = ∅ (где ¯ B - дополнение к B ).$A\subseteq B$$A\cap \overline{B}=\emptyset$$\overline{B}$$B$

Давайте рассмотрим сначала проверку, является ли . Для этого вам нужно дополнить D (очень просто - поменять принимающие отклоняющие состояния), затем построить автомат пересечения (например, с конструкцией продукта) с помощью N и проверить на пустоту, найдя путь к принимающему состоянию.$L(N)\subseteq L(D)$$D$$N$

Однако обратное направление покажет, почему это вам не поможет. Чтобы проверить, является ли , необходимо дополнить $L(D)\subseteq L(N)$$N$ . Но чтобы дополнить NFA, сначала нужно преобразовать его в DFA, что делает бессмысленной саму идею.

По сути, проблема с вашим вопросом гораздо глубже: вы хотите убедиться, что вы (неопределенная вычислительная модель) правильно выполнили четко определенный алгоритм. Так что это не проблема компьютерной науки.

Скажу так: следуя предложенным мною конструкциям, нетрудно сделать вывод, что если существует слово длины не более 2 2 n ( n - число состояний N ), которое принимается одним, а не другим. Таким образом, вы можете попробовать все слова до этой длины.$L(D)\neq L(N)$$2^{2n}$$n$$N$

Один из способов - преобразовать NFA в DFA, а затем проверить эквивалентность двух DFA, для которых существует линейный алгоритм [1].

Следующая статья рассматривает более общий случай эквивалентности двух NFA (который, конечно, также относится к вашему случаю).

Филиппо Бончи, Дэмиен Поус, Проверка эквивалентности NFA с помощью бисимуляции до конгруэнтности принципам языков программирования (POPL), январь 2013 г., Рим, Италия. ACM, стр.457-468, 2013.

Аннотация . Мы вводим бисимуляцию с точностью до конгруэнции как метод доказательства языковой эквивалентности недетерминированных конечных автоматов. Используя эту технику, мы разработали оптимизацию классического алгоритма Хопкрофта и Карпа [1]. Мы сравниваем наш подход с недавно введенными антицепочечными алгоритмами, анализируя и связывая два основных метода коиндуктивного доказательства. Мы даем конкретные примеры, где мы экспоненциально улучшаем по сравнению с антицепями; кроме того, экспериментальные результаты показывают незначительные улучшения.

[1] Дж. Э. Хопкрофт и Р. М. Карп. Линейный алгоритм проверки эквивалентности конечных автоматов. TR 114, Cornell Univ., Декабрь 1971.

См. Также веб-приложение к этому документу , которое содержит сценарии Coq для проверки результатов, ссылку на реализацию и интерактивный апплет.

Этот вопрос больше касается прикладного тестирования программного обеспечения и проверки правильности на практике, а не теоретического вопроса.

• $D_1 \cap \bar{D_2}$$D_2 \cap \bar{D_1}$$\bar{D}$

• Вы можете положиться на ранее протестированное программное обеспечение, которое было проверено для подтверждения ваших результатов. например библиотека AT & T FSM

• Другая идея: рандомизированное тестирование. выбрать случайные строки на вашем языке. определить, приняты или не приняты строки DFA / NFA. если два не равны, с большой вероятностью вы найдете строки, которые не соответствуют.

• Еще одна идея: вы можете написать код для обхода всех ветвей DFA и NFA до определенной глубины и искать несоответствия. это эквивалентно перечислению всех потенциально принятых строк заданной длины.