Нахождение минимального покрытия подмножества конечного декартова произведения декартовыми произведениями

Учитывая подмножество декартового произведения из двух конечных множеств, я хочу найти его минимальное покрытие множествами, которые сами являются декартовыми произведениями. $I \times J$

Например, учитывая произведение между и , я могу наблюдать подмножество и постарайтесь покрыть это минимальным количеством декартовых произведений. $I=\{A,B,C\}$ $J=\{1,2,3\}$ $\{(A,2), (B,3), (B,2)\}$

Это можно сделать двумя способами: и , оба требуют 2 продукта. Неоптимальным решением может быть разбиение его на 3 тривиальных продукта. $\{A\} \times \{2\} + B \times \{2,3\}$ $\{A,B\}\times \{2\} + \{B\}\times \{3\}$

Можно ли найти такое оптимальное покрытие эффективно (например, за полиномиальное время)?

algorithms set-cover

— yuvalm2
источник

напоминает мне об этой проблеме, «факторизации декартового объединения битовых векторов» (cstheory.SE, формулируется очень по-разному), которая связана с нижними границами теории цепей. в каком контексте возникает ваша проблема?

— vzn

Мой контекст - безопасность сети. В большой сети с большим количеством серверов политика безопасности определяет, с кем можно говорить. Если такая политика создается постепенно в течение длительного периода времени (как это обычно бывает), описание политики безопасности может быть упрощено путем объединения правил безопасности вместе. Я хочу найти оптимальное такое упрощение.

— yuvalm2

Это только количество продуктов, которые вы хотите минимизировать? Если так, что не так с использованием качестве обложки? Это будет охватывать все в вашем подмножестве (и некоторые другие). Есть ли у вас требование, что решение должно не только охватывать подмножество, но также и избегать охвата чего-либо за пределами подмножества?

I \times J

$I \times J$

— DW

Кроме того, поскольку это происходит из практического применения (и поэтому вы, вероятно, ищете практические решения), можете ли вы дать представление о типичных размерах параметров? например, типичный размер,и ваше подмножество, с точностью до порядка или около того; или диапазоны типичных значений? Это может помочь оценить, какие методы наиболее эффективны. Мне напоминают о минимизации логики , DNF и картах Карно .

| I |

$|I|$

| J |

$|J|$

— DW

Возможно , еще один способ сформулировать это состоит в следующем: Учитывая двудольный граф , найти минимальное число двудольных клик (или би-клик) , которые покрывают . Каждая клика соответствует уникальному произведению в вашем декартовом пространстве.

G = (L, R, E)

$G = (L, R, E)$

E

$E$

— Николас Манкузо

ЯМ формулирует эту проблему в комментариях как нахождение минимального числа двудольных клик (bi-cliques), которые покрывают двудольный граф. два набора, которые вы упомянули, являются двумя наборами вершин двудольного графа. декартовы произведения подмножеств двух вершин являются бикликами. Википедия утверждает, что это проблема двухстороннего измерения и проблема GT18 у Гарея и Джонсона , доказавшая, что NP завершена, на основе простой переформулировки задачи базиса множеств SP7.

— ВЗН
источник