Сложность объединения-поиска с путём-сжатием без ранга

10

Википедия говорит, что объединение по рангу без сжатия пути дает сложную временную сложность $O(\log n)$ , и что объединение по рангу и сжатию пути дает сложную временную сложность (где - обратная величина функции Аккермана). Однако в нем не упоминается время сжатия пути без ранга объединения, что я обычно реализую сам. $O(\alpha(n))$ $\alpha$

Какова амортизированная временная сложность объединения-поиска с оптимизацией сжатия пути, но без объединения путем оптимизации ранга?

complexity-theory time-complexity union-find

— Филип Хаглунд
источник

5

Обратите внимание, что является обратной функцией Аккермана, а не . Здесь «инверсия» означает инверсию как функцию, а не обратную: то есть, если , , а не .

α (n)

$\alpha(n)$

1 / A (n, n))

$1/A(n, n))$

f (n) = A (n, n)

$f(n)=A(n,n)$

α (n) = f^{- 1} (n)

$\alpha(n)=f^{-1}(n)$

1 / f (n)

$1/f(n)$

— DW

Я понимаю, что это относительно старый вопрос, но см. Мой ответ и соответствующий документ: epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S0097539703439088 . Я мог пропустить одну или две детали при копировании за пределы. В этом случае, пожалуйста, предложите изменить :-)

— BearAqua

4

Зейдель и Шарир доказали в 2005 году [1], что использование сжатия пути с произвольным связыванием примерно с $m$ операциями имеет сложность примерно $O((m+n)\log(n))$ .

См. [1], Раздел 3 (Произвольное связывание): пусть $f(m,n)$ обозначает время выполнения поиска объединения с $m$ операциями и $n$ элементами. Они доказали следующее:

Требование 3.1. Для любого целого числа имеем . $k>1$ $f(m, n)\leq (m+(k−1)n)\lceil \log_k(n) \rceil$

Согласно [1], установка дает . $k = \lceil m/n \rceil + 1$

f (m, n) \leq (2 m + n) \log_{⌈ m / n ⌉ + 1} n

$f(m, n)\leq (2m+n) \log_{\lceil m/n\rceil +1}n$

Аналогичная оценка была дана с использованием более сложного метода Тарьяном и ван Леувеном в [2], раздел 3:

Лемма 7 из [2]. Предположим, что . В любой последовательности операций над множествами, реализованной с использованием любой формы сжатия и наивного связывания, общее количество узлов в путях поиска не При делении пополам и наивном связывании общее количество узлов в путях поиска составляет не более . $m \geq n$ $(4m + n) \lceil \log_{\lfloor 1 + m/n \rfloor}n \rceil$ $(8m+2n)\lceil \log_{\lfloor 1 + m/n \rfloor} (n) \rceil$

Лемма 9 из [2]. Предположим, что . В любой последовательности операций над множествами, реализованной с использованием сжатия и наивного связывания, общее количество узлов в путях поиска составляет не более . $m < n$ $n + 2m \lceil \log n\rceil + m$

[1]: Р. Зейдель и М. Шарир. Нисходящий анализ сжатия пути. Siam J. Computing, 2005, Vol. 34, № 3, с. 515-525.

[2]: Р. Тарьян и Дж. Ван Леувен. Наихудший анализ алгоритмов объединения множеств. J. ACM, Vol. 31, № 2, апрель 1984, с. 245-281.

— BearAqua
источник

2

Я не знаю, каково амортизированное время выполнения, но я могу привести одну возможную причину, по которой в некоторых ситуациях вам может потребоваться использовать оба способа, а не просто сжатие пути: наихудшее время выполнения на операцию равно если вы используйте только сжатие пути, которое намного больше, чем если бы вы использовали объединение по рангу и сжатие пути. $\Theta(n)$

$n$ $n-1$ $\Theta(n)$ $\Theta(n)$

$O(\log n)$ $O(\log n)$ $O(\log n)$ может быть полезно в интерактивном приложении, где вы хотите убедиться, что ни одна операция не может вызвать длительную задержку (например, вы хотите гарантировать, что ни одна операция не может вызвать зависание приложения в течение длительного времени) или в режиме реального времени приложение, в котором вы хотите убедиться, что вы всегда будете соответствовать гарантиям в реальном времени.

— DW
источник