Учитывая только алфавит , строки, которые могут быть заданы в качестве входных данных для машин Тьюринга, взяты из набора . Но имеет ли смысл для ввода быть бесконечной двоичной строкой? Например, если машина Тьюринга принимает все строки, начинающиеся с 0, относится ли двоичная строка с бесконечными нулями к языку, принятому машиной Тьюринга?
Ответы:
Нет проблем при запуске машины Тьюринга на ленте, инициализированной бесконечной строкой, хотя это обычно не рассматривается. Нам все еще нужно, чтобы машина завершилась за конечное время. Есть также понятия вычислений бесконечного времени, которые могут быть уместны здесь.
Это одна из особенностей машин Тьюринга типа 2 . Они используются, среди прочего, для анализа вычислимости функций между действительными числами. Еще более интересно то, что они используются для анализа вычислимости операторов, таких как интеграция.
Интересный факт: точное численное интегрирование вычислимо.
Чтобы ответить на вопрос «имеет ли это смысл», это может быть даже полезно, если учесть машины Тьюринга, которые работают за конечное время.
В частности, это очень полезный способ думать о машинах Тьюринга без префиксов . Это машины, чей набор входов остановки не имеет префиксов; то есть никакие входные данные, которые приводят к остановке машины, не являются префиксом другого. По мощности они эквивалентны обычным машинам Тьюринга, но только в том случае, если мы позволим машине Тьюринга самостоятельно определять входные параметры остановки: т.е. пользователь не знает, на каких входах машина остановится (и это неразрешимое свойство).
Один из способов увидеть это - обычная машина Тьюринга с односторонней бесконечной входной лентой с ленточной головкой, которая не может двигаться назад. Пользователь заполняет ленту битами и запускает машину. По определению это машина Тьюринга без префиксов. Если машина останавливается, она должна прочитать только конечное число бит, и никакой префикс этой части ленты не может быть программой, иначе машина остановилась бы там вместо этого.
Это хороший способ говорить о вычислимом распределении вероятностей: пользователь заполняет ленту случайными битами (источником случайности машины), а машина выплевывает случайную цепочку битов. Множество всех таких машин Тьюринга соответствует множеству вычислимых распределений (в частности, полумерных вычислимых полуизмерений).
Преимущество бесконечного ввода состоит в том, что нам не нужно указывать, что делает машина, если мы даем ей префикс программы остановки, т.е. машина пытается прочитать за пределами введенного нами ввода.
Даже если у вас нет такой ленты, вы можете использовать другую машину Тьюринга для ее производства.
У машины Тьюринга есть доступ к пустой, но бесконечной ленте данных (или в некоторых источниках говорится, что «в машине просто встроена небольшая ленточная фабрика»). Таким образом, он может инициализировать его с каким-то программируемым шаблоном данных, а затем лента может использоваться как вход другой машины Тьюринга.
Конечно, если ваш контент таков, что не может быть определен алгоритм его создания, такой контент не может быть создан машиной Тьюринга.
В некоторых случаях можно рассматривать бесконечный ввод и сводить его к действию «стандартной» машины Тьюринга. Например, рассмотрим бесконечно повторяющийся конечный шаблон, указанный на входе. Можно создать машину Тьюринга, которая будет отслеживать, сколько из этого бесконечного шаблона было изменено текущими действиями головки ленты с использованием конечного объема памяти / хранилища ленты. Другими словами, он "эквивалентно имитирует" шаблон бесконечного размера на ленте.
Другой случай, когда рассматривался «бесконечный ввод», - это анализ тьюринговской эквивалентности / полноты клеточных автоматов. в сложном доказательстве Кук представил концепцию, называемую теперь «слабой эквивалентностью Тьюринга» при преобразовании операций правила CA 110 в операции машины Тьюринга, которые начинаются на бесконечной заданной начальной ленте, но с (повторяющимися) шаблонами конечного размера.
В формальных языках строка по определению представляет собой конечную последовательность символов. Классическая машина Тьюринга имеет бесконечную ленту с конечной строкой ввода. Таким образом, хотя нет ограничений на длину ввода, оно не может быть бесконечным.
Сказав это, есть много альтернативных машин, которые работают аналогично ТМ, но с бесконечными входными последовательностями.
Имеет ли смысл ввод бесконечной длины, зависит от цели. Строго говоря, в контексте машин Тьюринга это не имеет смысла (поскольку это невозможно), но в контексте машин, подобных Тьюрингу, это имеет смысл и имеет много применений.