Является ли

Я сдал экзамены по теории вычислений несколько недель назад, и это был один из вопросов:

Предположим, что язык $L=\{(a^nb^m)^r \mid n,m,r\ge 0\}$

L регулярно? Если да, укажите для него регулярное выражение или автомат.

После того, как я кратко спросил его ответ после экзамена, кажется, что он действительно правильный (я думаю, он сказал, что это простое выражение ). Однако я не могу понять, почему это так. То, как я это вижу, это конкатенация r раз, вот так: $(a^*b^*)^*$ $a^nb^m$

$a^nb^ma^nb^ma^nb^m...a^nb^ma^nb^m$ ,

что не является регулярным, поскольку у автомата нет способа каждый раз вызывать n и m . Где я здесь виноват?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Я снова говорил с профессором, он признал, что это было ошибкой. Язык действительно не обычный.

formal-languages regular-languages regular-expressions

— Exci
источник

Вы должны спросить своего учителя, является ли язык таким же, как язык . Если он скажет «да», то скажите ему, что я сказал вам, что его вопрос был плохо сформулирован.

L

$L$

K = {a^{n_{1}} b^{m_{1}} a^{n_{2}} b^{m_{2}} \dots a^{n_{r}} b^{n_{r}} ∣ r \geq 0, a_{1}, \dots, a_{r} \geq 0, b_{1}, \dots, b_{r} \geq 0}

$K = \lbrace a^{n_1} b^{m_1} a^{n_2} b^{m_2} \cdots a^{n_r} b^{n_r} \mid r \geq 0, a_1, \ldots, a_r \geq 0, b_1, \ldots, b_r \geq 0\rbrace$

— Андрей Бауэр

Это кажется единственным способом, которым это могло бы быть регулярным, и фактически это - то, что я первоначально поспешно думал и фактически рассматривал (a b ) *, но затем стер это, понимая, что n и m остаются тем же самым (или должен ..), и дал опровержение леммы накачки для r = 2, говорящее о том же самом, примененном к большему r (возможно, тоже не совсем полное решение, но, похоже, оно в правильном направлении). Излишне говорить, что я получил 0 за этот вопрос. Я постараюсь связаться с ним.

Я бы, конечно, понял вопрос так, как вы это делали изначально.

— Андрей Бауэр

Смотрите здесь, чтобы увидеть больше способов показать, что язык не является регулярным.

— Рафаэль

Вы также можете доказать то же самое с помощью прокачки леммы

— SAHIL THUKRAL

Ответы:

Язык не является регулярным, что можно доказать с помощью метода Нерода. Рассмотрим следующие слова для . Тогда , но для , . Следовательно, после считывания каждого любой автомат для должен находиться в другом состоянии , что противоречит его конечности. $L$ $w_n = a^n b$ $n \in \mathbb{N}$ $w_n^2 \in L$ $n \neq m$ $w_n w_m \notin L$ $L$ $w_n$

— Юваль Фильмус
источник

В своем комментарии вы намекаете, что вы (цитируете) «дали опровержение леммы прокачки для , сказав то же самое для большего ». $r=2$ $r$

Это действительно может быть формализовано путем применения свойства замыкания. Обычные языки закрыты на пересечении. Таким образом, если является регулярным, то так будет , эффективно устанавливая и . $L$ $L\cap a^*ba^*b = \{ a^n b a^n b \mid n\ge 0\}$ $r=2$ $m=1$

— Хендрик Ян
источник

Уважаемый читатель, пожалуйста , не убирайте «если

не является регулярным, тогда и

» здесь - потому что это просто ложь!

L

$L$

L^{'} \supset L

$L' \supset L$

— Рафаэль

@ Рафаэль Верно. Таким образом, правильная импликация будет «если

не является регулярным, то и

является регулярным », где

является регулярным.

L \cap R

$L\cap R$

L

$L$

R

$R$

— Хендрик Ян

Конечно. Я был обеспокоен тем, что новички могут читать «эффективную настройку ...» и применять это без использования свойств закрытия.

— Рафаэль

Язык: {(a ⁿ b ^m ) ^r | n, m, r≥0} не является регулярным, потому что, в то время как автомат / машина читает первую последовательность букв «a», а затем буквы «b», ему необходимо посчитать, сколько раз он прочитал букву «a» и сколько раз он прочитал букву «b» в первой последовательности, чтобы узнать значения n и m .

Если r> 1, то ожидается другая та же последовательность букв «a» и букв «b».

Если автомат / аппарат не не знает , сколько букв «а» и буквы «Ъ» он прочитал в первой последовательности , то она также имеет не знать значение п и м и , таким образом , он может не если сказать другие последовательности от второго до последнего являются словами, которые равны первой последовательности.

Но известно, что только машина Тьюринга может считать и знать значения n и m и распознавать язык выше, поэтому не только то, что язык выше не является регулярным, но даже он также не является контекстно-свободным, т.е. Не существует автомат для распаковки для распознавания этого языка, и не существует контекстно-свободной грамматики, в которой каждое слово, полученное из этой контекстно-свободной грамматики, находится на вышеуказанном языке.

Поскольку тот факт, что как детерминированный конечный автомат, так и конечный автомат с понижением не могут считать и знать значения n и m , в отличие от машины Тьюринга, они не могут распознать вышеуказанный язык, и, следовательно, указанный выше язык не является контекстно-свободным и не является регулярным.

Контрпример к предположению, что язык выше является регулярным:

Для n = 3 m = 5 r = 2 следующее слово на вышеуказанном языке:

aaabbbbbaaabbbbb

Но следующего слова нет в языке:

aaabbbbbaaaaabbb, потому что n, m и r не существует так:

(a ⁿ b ^m ) ^r = aaabbbbbaaaaabbb, потому что для удовлетворения первой последовательности букв «a», а затем букв «b» должно быть верно, что n = 3 ∧ m = 5 , и потому что мы видим 2 последовательности букв ' a 'и затем буквы' b ', тогда r = 2 , но если n = 3 ∧ m = 5 2 r = 2, то (a ⁿ b ^m ) ^r = (a ³ b ⁵ ) ² = (aaabbbbb) ² = aaabbbbbaaabbbbb ≠ aaabbbbbaaaaabbb, потому что их суффиксы разные, т.е. aaabbbbb ≠ aaaaabbb, хотя их префиксы равны aaabbbbb при r = 1.

«Лучший» детерминированный конечный автомат, который может быть построен для этого языка, - это детерминированный конечный автомат, который распознает регулярное выражение (a * b *) *, но не распознает вышеуказанный язык, потому что он говорит, что оба слова aaabbbbbaaabbbbb и aaabbbbbaaaaabbb на языке, и это не так, потому что aaabbbbbaaabbbbb на языке, но aaabbbbbaaaaabbb не на языке.

Даже конечный автомат не может сказать, есть ли оба слова в языке или нет, так что только машина Тьюринга может.

Во второй последовательности машина Тьюринга обнаружила, что n = 5 ∧ m = 3, и это противоречит тому, что в первой последовательности она обнаружила, что n = 3 ∧ m = 5 , поэтому она говорит, что второго слова нет в языке , но в первом слове нет противоречия.

Обе последовательности удовлетворяют тому, что n = 3 ∧ m = 5 , поэтому машина Тьюринга говорит, что первое слово в языке.

Только машина Тьюринга может, если она считает и запоминает значения n и m , записывая их значения на своей ленте, а затем считывает их.

— Прощальный обмен стека
источник