Наименьший общий неделитель

В основном проблема заключается в следующем: для набора положительных чисел найти минимальное число , которое не является делителем ни одного элемента из , т. .$S$$d$$S$$\forall x \in S,\ d \nmid x$

Обозначим $n = |S|$и $C = \max(S)$ . Рассмотрим функцию $F(x) =$ наименьшее простое число, не делящее $x$ . Легко видеть, что $F(x) \leq \log x$ . А для множества $S$ , пусть $F(S) =$ наименьшее простое число , что не разделяет какой - либо элемент $S$ . У нас есть верхняя граница

Поэтому простой алгоритм перебора, который перечисляет все числа от $1$ до $n \log C$ и проверяет, не разделяет ли он какой-либо элемент из $S$ , является полиномиальным и имеет временную сложность $O(n^2 \log C)$ .

Другой способ решить эту проблему - вычислить все факторы для каждого элемента $S$ и использовать их в алгоритме перебора, чтобы проверить, является ли $x$ ответом за $O(1)$ времени. Этот алгоритм имеет временную сложность $O(n \cdot \min (\sqrt{C}, n \log C) + n \log C)$ и использует $O(n \log C)$ память, потому что нам не нужно вычислять и магазин факторов больше , чем $n \log C$ . Для малых $n$ и $C$ это работает лучше.

Подробно алгоритм состоит из двух частей:

1. Построить множество $\hat{S}$ составленное из всех факторов всех элементов $S$ , т.е.

   $$\forall x \in S\ \forall f \le n \cdot \log C, \ (f \mid x \rightarrow f \in \hat{S})$$ Это можно сделать за $O(n \cdot \min (\sqrt{C}, n \log C))$ и $O(n \log C)$ памяти. (Откуда это берется? Для любого элемента $S$ мы можем разложить его, используя либо пробную факторизацию со всеми числами до $\sqrt{C}$ либо со всеми простыми числами до $n \log C$ , в зависимости от того, что меньше; таким образом, каждый элемент из $S$ может быть учтено во времени $O(\min (\sqrt{C}, n \log C))$ время.)

2. Найдите минимальное число . Этот шаг требует времени, если проверяется, можно ли выполнить за время.$d \notin \hat{S}$$O(|\hat{S}|) = O(n \log C)$$x \in \hat{S}$$O(1)$

У меня есть два вопроса, которые меня интересуют:

1. Есть ли более быстрый алгоритм для решения проблемы?
2. Для данных и , как мы можем построить множество с максимальным наименьшим общим неделителем?$n$$C$$S$

Возможно улучшить ваш второй алгоритм, используя лучшие алгоритмы для целочисленной факторизации.

Есть два алгоритма для целочисленной факторизации, которые здесь важны:

• GNFS может целое число со временем выполнения .$\le C$$O(L_C[0.33,1.92])$

• ECM может найти факторы (если таковые имеются) со временем выполнения ; нахождение всех факторов займет раз (что относительно мало по сравнению с временем работы ECM).$\le n \log C$$O(L_{n \log C}[0.5,1.41])$$O(\log C / \log(n \log C))$

Здесь .$L_n[\alpha,c] = \exp\{c (\log n)^\alpha (\log \log n)^{1-\alpha}\}$

Это довольно ужасно выглядящее выражение для времени выполнения, но важным фактом является то, что это быстрее, чем методы, которые вы упомянули. В частности, асимптотически намного меньше, чем , т. намного быстрее, чем пробует все возможные факторы . Также асимптотически значительно меньше , то есть ECM гораздо быстрее , чем пытаться все возможные факторы .$L_C[0.33,1.92]$$\sqrt{C}$$\le \sqrt{C}$$L_{n \log C}[0.5,1.41]$$n \log C$$\le n \log C$

Таким образом, общее время выполнения этого метода примерно равно , и это асимптотически лучше, чем ваш Первый метод и асимптотически лучше, чем ваш второй метод. Я не знаю, возможно ли сделать еще лучше.$\tilde{O}(n \min(L_C[0.33,1.92], L_{n \log C}[0.5,1.41]))$

Наименьший общий неделитель может быть таким же большим, как N log C, но если N чисел распределены случайным образом, то наименьший общий неделитель, вероятно, будет намного меньше, вероятно, намного меньше N. Я бы построил таблицы, из которых простые числа делители которых числа.

Для каждого простого числа p у нас есть индекс который означает, что все числа до этого индекса были проверены на делимость на p, и у нас есть список всех тех чисел, на которые делятся.$k_p$

Тогда для d = 2, 3, 4, ... мы пытаемся найти число, делимое на d, или показать, что его нет. Мы берем наибольший простой множитель p of d. Затем мы проверяем все числа, которые делятся на p, делятся ли они также на d. Если ничего не найдено, то мы проверяем дальнейшие числа с индексами> на делимость на p, обновляем и список чисел , p, и проверяем, делится ли каждое число на d.$k_p$$k_p$

Чтобы проверить, существует ли число, делимое на p, мы проверяем в среднем число p. Позже, если мы проверим, есть ли число, делимое на 2p, есть 50% -ый шанс, что нам нужно проверить только одно число (то, которое делится на p), и 50% -ый шанс проверить в среднем на 2p больше чисел. Найти число, делимое на 3p, вполне вероятно, быстро и так далее, и мы никогда не проверяем делимость на p больше чем N чисел, потому что есть только N чисел.

Я надеюсь, что это с проверок делимости.$N^2 / log N$

PS. Насколько большим будет результат для случайных чисел?

Предположим, у меня есть N случайных чисел. Вероятность того, что одно из N чисел делится на d, равна 1 - (1 - 1 / d) ^ N. Я предполагаю, что вероятность того, что каждое из чисел 1 ≤ d ≤ k является фактором одного из случайных чисел, рассчитывается путем умножения этих вероятностей (хорошо, это немного хитроумно, потому что эти вероятности, вероятно, не совсем независимы).

С этим допущением, при N = 1000, есть 50% -ная вероятность того, что одно из чисел 1..244 не делит ни одного числа, и одно из миллиарда, что каждое число до 507 делит одно из чисел. При N = 10000 есть 50% вероятность того, что одно из чисел 1..1726 не делит ни одного числа, а одно на миллиард, что каждое число до 2979 делит одно из чисел.

Я хотел бы предложить, что для N случайных входов размер результата немного больше, чем N / ln N; может быть что-то вроде N / ln N * (ln ln N) ^ 2. Вот почему:

Вероятность того, что по меньшей мере один из N случайных чисел делятся на случайный д составляет . Если d около N, то составляет около 1 - exp (-1) ≈ 0,6321. Это для одного делителя; шансы того, что каждое из нескольких чисел d ≈ N является делителем хотя бы одного из N чисел, достаточно малы, поэтому максимальное значение d будет значительно меньше N.$1 - (1 - 1/d)^N$$1 - (1 - 1/d)^N$

Если d << N, то .$1 - (1 - 1/d)^N ≈ 1 - exp (-N / d)$

Если d ≈ N / N , то пер .$1 - exp (-N / d) ≈ 1 - exp (- ln N) = 1 - 1/N$

Мы добавили бы эти вероятности для примерно N / ln N значений d, но для большинства d результат будет значительно больше, поэтому самый большой d будет как-то больше, чем N / ln N, но значительно меньше, чем N.

PS. Нахождение числа, делимого на d:

Мы выбираем наибольший простой фактор p из d, а затем сначала исследуем числа, которые, как известно, делятся на p. Скажи д = кп. Тогда в среднем мы проверяем только k чисел, которые делятся на p, при проверке этого конкретного d, и мы проверяем самое большее все N значений для делимости на p в целом, для всех d, делимых на p. На самом деле, мы, скорее всего, проверяем значения меньше N для большинства простых чисел p, потому что после проверки всех значений N алгоритм, скорее всего, заканчивается. Таким образом, если результат равен R, то я ожидаю, что меньше чем N значений будет делиться на каждое простое число меньше R. Предполагая, что R ≤ N, это примерно N ^ 2 / log N проверок.

PS. Выполнение некоторых тестов

Я запускал этот алгоритм несколько раз с N = 1 000 000 случайных чисел> 0. Наименее распространенный неделитель составлял от 68 000 до 128 000, причем подавляющее большинство прогонов - от 100 000 до 120 000. Количество делений составляло от 520 до 1800 миллионов, что намного меньше (N / ln N) ^ 2; В большинстве случаев используется от 1000 до 1500 миллионов делений.