Сортировка как линейная программа

У удивительного числа проблем есть довольно естественное сокращение к линейному программированию (LP). См. Главу 7 в [1] для примеров, таких как сетевые потоки, двустороннее сопоставление, игры с нулевой суммой, кратчайшие пути, форма линейной регрессии и даже оценка схемы!

Поскольку оценка схемы сводится к линейному программированию, любая проблема в должна иметь формулировку линейного программирования. Таким образом, у нас есть «новый» алгоритм сортировки посредством редукции к линейной программе. Итак, мои вопросы$P$

1. Что такое линейная программа, которая будет сортировать массив из действительных чисел?$n$
2. Каково время работы алгоритма сортировки по принципу «уменьшить-на-LP-и-решить»?

1. Алгоритмы С. Дасгупты, С. Пападимитриу и У. Вазирани (2006)

Следующий ответ в основном эквивалентен тому, который вы уже знаете, но может показаться немного менее «волшебным». С другой стороны, он более технический, но я считаю, что общий метод «напиши свою задачу как оптимизацию матриц перестановок и приведи Биркгофа-фон Неймана» - это здорово знать.

Для перестановки из { 1 , … , n } определите матрицу перестановок P σ как матрицу 0-1, такую ​​что P i j = 1, если j = σ ( i ), и P i j = 0 в противном случае. Это просто матрица, которая переставляет координаты вектора x согласно σ : если y = P σ x, то y i = x $\sigma$$\{1, \ldots, n\}$$P_\sigma$$P_{ij} = 1$$j = \sigma(i)$$P_{ij}=0$$x$$\sigma$$y = P_\sigma x$ . Теперь я буду обозначатьy= P σ xкакσ(x).$y_i = x_{\sigma(i)}$$y=P_{\sigma}x$$\sigma(x)$

Еще одно определение: неотрицательная матрица M является дважды стохастической, если каждая из ее строк и каждый из ее столбцов суммируются в 1.$n\times n$$M$

И один факт, который очень важен в комбинаторной оптимизации - теорема Биркгофа-фон Неймана:

Матрица является вдвойне стохастической тогда и только тогда, когда она является выпуклой комбинацией матриц перестановок, то есть тогда и только тогда, когда существуют перестановки σ 1 , … , σ k и положительные вещественные числа α 1 , … , α k, такие что M = ∑ k i = 1 α i P σ i и ∑ α i = 1 .$M$$\sigma_1, \ldots, \sigma_k$$\alpha_1 , \ldots, \alpha_k$$M = \sum_{i = 1}^k{\alpha_i P_{\sigma_i}}$$\sum{\alpha_i} = 1$

Обратите внимание, что дважды стохастическая матрица определяется неравенствами

∀ J : п Σ я = 1 М я J = 1 ∀ я , J : М я J ≥

Все эти неравенства, взятые вместе, определяют многогранник , и теорема Биркгофа-фон Неймана утверждает, что все экстремальные точки (вершины) этого многогранника являются матрицами перестановок. Из базового линейного программирования мы знаем, что это подразумевает, что любая линейная программа, которая имеет вышеуказанные неравенства в качестве своих ограничений (и не имеет других ограничений), будет иметь матрицу перестановок в качестве оптимального решения.$P$

Поэтому, учитывая входные данные которые нужно отсортировать, нам просто нужно придумать линейную цель f a ( M ), для которой:$a = (a_1, \ldots, a_n)$$f_a(M)$

• если σ ( a ) отсортировано, а τ ( a ) нет.$f_a(P_\tau) < f_a(P_\sigma)$$\sigma(a)$$\tau(a)$

Затем сформулируйте линейную программу с целью максимизировать и приведенные выше неравенства в качестве ограничений, и вы гарантируете, что оптимальным решением является матрица перестановок P σ для σ, такая, что σ ( a ) сортируется. Конечно, легко «считывать» σ из P σ .$f_a(M)$$P_\sigma$$\sigma$$\sigma(a)$$\sigma$$P_\sigma$

Один из вариантов для - это v T M a, где v = ( 1 , … , n ) . Подтвердите это$f_a(M)$$v^T M a$$v = (1, \ldots, n)$

• это линейно по ;$M$
• для , е ( Р σ ) = Σ п я = 1 я σ ( я ) ;$P_\sigma$$f_a(P_\sigma) = \sum_{i = 1}^n{i a_{\sigma(i)}}$
• $\sigma$$\sigma(a)$$\sigma(a)$

И вуаля, у вас есть линейная программа для сортировки. Кажется глупым для сортировки, но на самом деле это мощный метод оптимизации.