Проблемы с решениями против «настоящих» проблем, которые не да или нет

Я читал во многих местах, что некоторые проблемы трудно приблизить ( NP-трудно приблизить их). Но аппроксимация не является проблемой решения: ответ - это действительное число, а не «Да» или «Нет». Также для каждого желаемого коэффициента аппроксимации существует много правильных ответов и много неправильных, и это изменяется с желаемым коэффициентом аппроксимации!

Так как же можно сказать, что эта проблема NP-трудная?

(навеяно вторым пунктом в разделе «Насколько сложно считать количество простых путей между двумя узлами в ориентированном графе?» )

Как вы сказали, решение не принимается, поэтому необходимы новые классы сложности и новые типы сокращений, чтобы прийти к подходящему определению NP-твердости для задач оптимизации .

Один из способов сделать это - иметь два новых класса NPO и PO, которые содержат задачи оптимизации, и они, конечно же, имитируют классы NP и P для решения проблем. Новые сокращения также необходимы. Затем мы можем воссоздать версию NP-твердости для задач оптимизации в том же духе, которая была успешной для решения проблем. Но сначала мы должны согласиться, что такое проблема оптимизации .

Определение: Пусть - задача оптимизации . X - это набор входов или экземпляров, подходящих для кодирования в виде строк. L - это функция, которая отображает каждый экземпляр x ∈ X на набор строк, возможные решения экземпляра x . Это набор, потому что есть много решений проблемы оптимизации. Таким образом, у нас есть целевая функция f, которая сообщает нам для каждой пары $O=(X,L,f,opt)$$X$$L$$x\in X$$x$ $f$y ∈ L ( x ) экземпляра и решение егостоимостьилизначение. o p t говорит нам, максимизируем мы или минимизируем.$(x, y)$ $y\in L(x)$$opt$

Это позволяет нам определить, каково оптимальное решение : пусть - оптимальное решение экземпляра x ∈ X задачи оптимизации O = ( X , L , f , o p t ) с f ( x , y o p t ) = o p t { f ( x , $y_{opt}\in L(x)$$x\in X$$O=(X,L,f,opt)$Оптимальное решение часто обозначается через y ∗ .

$$f(x,y_{opt})=opt\{f(x,y')\mid y'\in L(x)\}.$$ $y^*$

Теперь мы можем определить класс NPO : пусть будет множеством всех оптимизационных задач O = ( X , L , f , o p t ) с помощью:$NPO$$O=(X,L,f,opt)$

1. $X\in P$
2. Существует многочлен с | у | ≤ p ( | x | ) для всех случаев x ∈ X и всех возможных решений y ∈ L ( x ) . Кроме того, существует детерминированный алгоритм, который решает за полиномиальное время, является ли y ∈ L ( x ) .$p$$|y|\le p(|x|)$$x\in X$$y\in L(x)$$y\in L(x)$
3. можно оценить за полиномиальное время.$f$

За этим стоит интуиция:

1. Мы можем эффективно проверить, является ли действительно допустимым примером нашей проблемы оптимизации.$x$
2. Размер допустимых решений полиномиально ограничен по размеру входов, и мы можем эффективно проверить, является ли допустимым решением экземпляра x .$y\in L(x)$$x$
3. Значение решения может быть эффективно определено.$y\in L(x)$

Это отражает то, как определяется , теперь для PO : пусть P O будет множеством всех задач из N P O, которые могут быть решены детерминированным алгоритмом за полиномиальное время.$NP$$PO$$NPO$

Теперь мы можем определить то, что мы хотим назвать алгоритмом приближения : алгоритм приближения задачи оптимизации - это алгоритм, который вычисляет допустимое решение y ∈ L ( х ) для экземпляра х ∈ х .$O=(X,L,f,opt)$$y\in L(x)$$x\in X$

Примечание: то, что мы не просим об оптимальном решении, мы только о том, что иметь приемлемое решение .

Теперь у нас есть два типа ошибок: Абсолютная ошибка допустимого решения экземпляра x ∈ X задачи оптимизации O = ( X , L , f , o p t ) равна | f ( x , y ) - f ( x , y ∗ ) | ,$y\in L(x)$$x\in X$$O=(X,L,f,opt)$$|f(x,y)-f(x,y^*)|$

Мы называем абсолютную ошибку алгоритма аппроксимации для задачи оптимизации O, ограниченной k, если алгоритм A вычисляет для каждого случая x ∈ X, допустимое решение с абсолютной ошибкой, ограниченной k .$A$$O$$k$$A$$x\in X$$k$

Пример: Согласно теореме Визинга хроматического индекса графа (количество цветов в крае окраски с наималейшим количеством цветов , используемым) либо или Δ + 1 , где Δ является степенью максимального узла. Из доказательства теоремы приблизительный-алгоритм может быть разработан , что вычисляет край окраски с & Dgr + 1 цветами. Соответственно, у нас есть алгоритм приближения для M i n i m u m - E d g e C o l o r i $\Delta$$\Delta+1$$\Delta$$\Delta+1$ -проблема, где абсолютная ошибка ограничена 1 .$\mathsf{Minimum-EdgeColoring}$$1$

Этот пример является исключением, небольшие абсолютные ошибки встречаются редко, поэтому мы определяем относительную ошибку аппроксимационного алгоритма A в экземпляре x задачи оптимизации O = ( X , L , f , o p t ) с F ( х , у ) > 0 для всех х ∈ X и у ∈ L ( х ) , чтобы быть$\epsilon_A(x)$$A$$x$$O=(X,L,f,opt)$$f(x,y)>0$$x\in X$$y\in L(x)$

$$\epsilon_A(x):=\begin{cases}0&f(x,A(x))=f(x,y^*)\\\frac{|f(x,A(x))-f(x,y^*)|}{\max\{f(x,A(x)),f(x,y^*)\}}&f(x,A(x))\ne f(x,y^*)\end{cases}$$

где ( х ) = у ∈ L ( х ) является допустимым решением вычисляется с помощью аппроксимации-алгоритма A .$A(x)=y\in L(x)$$A$

Теперь мы можем определить алгоритм аппроксимации для задачи оптимизации O = ( X , L , f , o p t ) как алгоритм δ -аппроксимации для O, если относительная ошибка ϵ A ( x ) ограничена δ ≥ 0 для каждого экземпляра x ∈ X , поэтому ϵ A ( x ) ≤ $A$$O=(X,L,f,opt)$$\delta$$O$$\epsilon_A(x)$$\delta\ge 0$$x\in X$

$$\epsilon_A(x)\le \delta\qquad \forall x\in X.$$

Выбор в знаменателе определения относительной ошибки был выбран, чтобы сделать определение симметричным для максимизации и минимизации. Значение относительной погрешности ϵ A ( x ) ∈ [ 0 , 1 ] . В случае максимизирующей задачи значение решения никогда не бывает меньше ( 1 - ϵ A ( x $\max\{f(x,A(x)),f(x,y^*)\}$$\epsilon_A(x)\in[0,1]$ и никогда не больше 1 / ( 1 - ϵ A ( x ) ) ⋅ f ( x , y ∗ ) для задачи минимизации.$(1-\epsilon_A(x))\cdot f(x,y^*)$$1/(1-\epsilon_A(x))\cdot f(x,y^*)$

Теперь мы можем назвать оптимизационную задачу -приближаемой, если существует δ -аппроксимативный алгоритм A для O, который выполняется за полиномиальное время.$\delta$$\delta$$A$$O$

Мы не хотим рассматривать ошибку для каждого экземпляра , мы рассматриваем только худший случай. Таким образом, мы определяем ϵ A ( n ) , максимальная относительная погрешность алгоритма аппроксимации A для задачи оптимизации O равна ϵ A ( n ) = sup { ϵ A ( x ) ∣ | х | ≤ n } $x$$\epsilon_A(n)$$A$$O$

$$\epsilon_A(n)=\sup\{\epsilon_A(x)\mid |x|\le n\}.$$

Где должен быть размером экземпляра.$|x|$

Пример: максимальное совпадение в графе может быть преобразовано в минимальное покрытие узлов путем добавления всех инцидентных узлов из соответствия в покрытие вершин. Таким образом , +1 / 2 ⋅ | C | края покрыты. В каждой вершине крышку , включая оптимальную должны иметь один из узлов каждого покрытым края, в противном случае она может быть улучшена, мы имеем 1 / +2 ⋅ | C | ⋅ f ( x , y ∗ ) . Отсюда следует, что | C | - f ( x , y $C$$1/2\cdot |C|$$1/2\cdot |C|\cdot f(x,y^*)$ Таким образом, жадный алгоритм для согласования максимального является1/2-approximatio-алгоритмМяпятал-ВертехСоvег. СледовательноMIпятал-ВертехСоvегсоставляет1/2-approximable.

$$\frac{|C|-f(x,y^*)}{|C|}\le\frac{1}{2}$$ $1/2$$\mathsf{Minimal-VertexCover}$$\mathsf{Minimal-VertexCover}$$1/2$

К сожалению, относительная ошибка не всегда является лучшим понятием качества для аппроксимации, как показано в следующем примере:

Пример: Простой жадный-алгоритм может аппроксимировать . Анализ показывает, что | C $\mathsf{Minimum-SetCover}$и, следовательно,Minimum-SetCoverбудетln(n

$$\frac{|C|}{|C^*|}\le H_n\le 1+\ln(n)$$ $\mathsf{Minimum-SetCover}$ -приближаемый.$\frac{\ln(n)}{1+\ln(n)}$

Если относительная ошибка близка к следующее определение является предпочтительным.$1$

Пусть будет оптимизация-проблема с F ( х , у ) > 0 для всех х ∈ X и у ∈ L ( х ) и А приближение-алгоритма для вывода . Коэффициент аппроксимации r A ( x ) допустимого решения A ( x ) = $O=(X,L,f,opt)$$f(x, y)>0$$x\in X$$y\in L(x)$$A$$O$ $r_A(x)$ экземпляра x ∈ X есть r A ( x ) = { 1 f ( x , A ( x ) ) = f ( x , y ∗ ) max { f ( x , A ( x ) $A(x)=y\in L(x)$$x\in X$

$$r_A(x)=\begin{cases}1&f(x,A(x))=f(x,y^*)\\\max\left\{ \frac{f(x,A(x))}{f(x, y^*)},\frac{f(x, y^*)}{f(x, A(x))}\right\}&f(x,A(x))\ne f(x,y^*)\end{cases}$$

Как и прежде мы называем аппроксимацию-алгоритм в г -аппроксимацию-алгоритм для оптимизации задачи- O , если приближение-отношение г ( х ) ограничен г ≥ 1 для каждого входа х ∈ X . r A ( x ) ≤ r И еще раз, если у нас есть r -приближающий алгоритм A для задачи оптимизации O, то O называется r -аппроксимируемым$A$$r$$O$$r_A(x)$$r\ge1$$x\in X$

$$r_A(x)\le r$$ $r$$A$$O$$O$$r$, Опять же, мы заботимся только о наихудшем случае и определяем максимальное отношение аппроксимации как r A ( n ) = sup { r A ( x ) ∣ | х | ≤ n } . Соответственно, коэффициент аппроксимации больше 1 для субоптимальных решений. Таким образом, лучшие решения имеют меньшие отношения. Для М я п я т у м - С й т С $r_A(n)$ $$r_A(n)=\sup\{r_A(x)\mid |x|\le n\}.$$ $1$ теперь мы можем написатьчто ( 1 + LN ( п ) ) -approximable. А в случае М я п я т у т - V е т т е х С о v е г мы знаем из предыдущего примерачто 2 -approximable. Между относительной погрешностью и коэффициентом приближения мы имеем простые соотношения: r A ( x ) = $\mathsf{Minimum-SetCover}$$(1+\ln(n))$$\mathsf{Minimum-VertexCover}$$2$ $$r_A(x)=\frac{1}{1-\epsilon_A(x)}\qquad \epsilon_A(x)=1-\frac{1}{r_A(x)}.$$

$\epsilon<1/2$$r<2$$\epsilon\ge 1/2$$r\ge 2$

$\alpha$$\alpha\le 1$$\alpha\ge 1$$\alpha=1$

$O$$NPO$$r$$r\ge1$

Мы почти закончили. Мы хотели бы скопировать успешные идеи сокращений и полноты из теории сложности. Наблюдение состоит в том, что многие NP-сложные варианты решений задач оптимизации сводятся друг к другу, в то время как их варианты оптимизации имеют различные свойства в отношении их аппроксимируемости. Это связано с полиномиальным временем-карп-редукцией, используемым при сокращении NP-полноты, которое не сохраняет целевую функцию. И даже если целевые функции сохраняются, полиномиальное время-карп-редукция может изменить качество решения.

$O_1$$O_2$$O_2$$O_1$

$O_1=(X_1,L_1,f_1,opt_1)$$O_2=(X_2,L_2,f_2,opt_2)$$NPO$$O_1$ $AP$$O_2$$O_1\le_{AP} O_2$$g$$h$$c$

1. $g(x_1, r)\in X_2$$x_1\in X_1$$r>1$
2. $L_2(g(x, r_1))\ne\emptyset$$L_1(x_1)\ne\emptyset$$x_1\in X_1$$r>1$
3. $h(x_1, y_2, r)\in L_1(x_1)$$x_1\in X_1$$r>1$$y_2\in L_2(g(x_1,r))$
4. $r$$g$$h$
5. $$f_2(g(x_1,r),y_2)\le r \Rightarrow f_1(x_1,h(x_1,y_2,r))\le 1+c\cdot(r-1)$$ $x_1\in X_1$$r>1$$y_2\in L_2(g(x_1,r))$

$g$$h$$r$$g(x_1)$$h(x_1, y_2)$

$O_2\in APX$$O_1\le_{AP} O_2$$O_1\in APX$

$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

$O$$NPO$$\mathcal{C}$$NPO$$O$$\mathcal{C}$$\le_{AP}$$O'\in\mathcal{C}$ $O'\le_{AP} O$

$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$$\le_{AP}$$\mathcal{C}$

$NPO$$APX$$NPO$$\mathsf{SAT}$$\mathsf{Weighted-Satisfiability}$$NPO$$\mathsf{Maximum-3SAT}$$APX$

Обычно то, что показано, - это NP-твердость "проблемы" версии проблемы. Например, предположим, что вы хотите показать, что трудно приблизить SET COVER с точностью до 2.

Вы определяете следующий «обещанный» экземпляр SET COVER, который мы назовем 2-GAP-SET-COVER:

$\ell$

• $\ell$
• $2\ell$

Предположим, что мы показываем, что задача решения, в какой из двух случаев входит проблема, является NP-полной. Затем мы показали, что приближение SET COVER с точностью до 2 является NP-сложным, потому что мы могли бы использовать такой алгоритм для различения этих двух случаев.

Два существующих ответа очень информативны, но я не думаю, что кто-либо из них действительно отвечает на вопрос, а именно: «Как может проблема, которая даже не является проблемой решения, быть NP-трудной, когда NP является классом проблем решения ?»

$L$$L$$L$

Некоторые примеры.

1. $L$$L$$L$$L$
2. #SAT - это проблема вычисления количества удовлетворяющих присвоений формулам CNF. Это явно не в NP, потому что, как вы видите, NP - это класс проблем решения, а #SAT - не один из них. Однако, #SAT является NP-сложным при сокращениях Тьюринга за полиномиальное время, потому что мы можем уменьшить SAT до него. Для данного экземпляра SAT мы спрашиваем, сколько существует удовлетворяющих заданий: если есть хотя бы одно, мы говорим «выполнимо»; в противном случае «неудовлетворительно».
3. $\varphi$$\varphi$$\varphi$$\varphi'=\varphi \wedge (Z_1\vee \dots \vee Z_{10})$$Z_i$$\varphi'$$\varphi$$\varphi'$$\varphi$$\varphi'$