Срок переписывания; Вычислить критические пары

Я попытался выполнить следующее упражнение, но застрял, пытаясь найти все критические пары .

У меня есть следующие вопросы:

1. Как мне узнать, какая критическая пара произвела новое правило?
2. Как я узнал, что нашел все критические пары?

Пусть где бинарный, унарный, а константа. $\Sigma= \left \{ \circ, i, e \right \}$$\circ$$i$$e$

$$E=\left \{ \begin{gather} ( x \circ y ) \circ z \approx x \circ\left ( y \circ z \right ) \\ x \circ e \approx x \\ x \circ i(x) \approx e \end{gather} \right\}$$

Моя работа до сих пор:

1. $x\circ e >_{\textsf{lpo}} x$   (LPO 1)   - переменная   (LPO 2b), справа нет терминов сторона стороны     (LPO 2c)$x$
   
   $x\circ i(x)>_{\textsf{lpo}} e$
   
   $(x\circ y)\circ z\approx x\circ(y\circ z)$
   
   $s=\circ(\underset{\large s_1}{\circ(x,y)},\underset{\large s_2}{\strut z})\qquad t=\circ (\underset{\large t_1}{x\strut}, \underset{\large t_2}{\circ(y,z)})$
   
   

   • проверьте, что ,     (LPO 1), чтобы доказать, что (LPO 2c) мы докажем что J = ¯ 1 , м ы > ПОЛ т 1 с > ПОЛ т 2 с > ПОЛ$s>t_j$$j=\overline{1,m}$
     
     $s>_{\textsf{lpo}}t_1$
     
     $s>_{\textsf{lpo}}t_2$ $$s>_{\textsf{lpo}} y \;\;\text{(LPO 1)};\qquad s>_{\textsf{lpo}}z \;\;\text{(LPO 1)};\qquad \circ(x,y)>y\;\;\text{(LPO 1)}$$
   • найти таким, чтобыs i > lpo t i i = 1 ∘ ( x , y ) > lpo$i$$s_i>_{\textsf{lpo}}t_i$     $i=1$ $$\circ(x,y)>_{\textsf{lpo}}x\;\;\text{(LPO 1)}$$

   $(x\circ y)\circ z>_{\textsf{lpo}} x\circ (y\circ z)$
   
   

2. а. B. c. x 1 ∘ $(x\circ y)\circ z\;\rightarrow\; x\circ (y\circ z)$
   
   х ∘ $x_1\circ e\;\rightarrow\; x_1$
   
   θ { $x\circ y \mathrel{\,=?\,} x_1\circ e$
   
   ( x 1 ∘ e ) ∘ $\theta\{x \;\leftarrow \;x_1;\; y\;\leftarrow \;e\}$ ( x ∘ y ) ∘

   $$\require{AMScd} \require{cancel} \begin{CD} (x_1\circ e)\circ z @>>> \cancel{x_1}\circ z\\ @VVV @VVV\\ \cancel{x_1}\circ(e\circ z) @>>> e\circ z\approx z \end{CD}\qquad\text{left identity?}$$
   e ∘ x $(x\circ y)\circ z\;\rightarrow\; x\circ (y\circ z)$
   
   х ∘ $e\circ x_1\;\rightarrow\; x_1$
   
   θ { $x\circ y \mathrel{\,=?\,} e\circ x_1$
   
   ( e ∘ x 1 ) ∘ $\theta\{x \;\leftarrow \;e;\; y\;\leftarrow \;x_1\}$ (x∘y)∘ $$\begin{CD} (e\circ x_1)\circ z @>>> x_1\circ z\\ @VVV @VVV\\ e\circ(x_1\circ z) @>>> ? \end{CD}$$
   x 1 ∘ i ( x 1$(x\circ y)\circ z\;\rightarrow\; x\circ (y\circ z)$
   
   х ∘ $x_1\circ i(x_1)\;\rightarrow\; e$
   
   θ { $x\circ y \mathrel{\,=?\,} x_1\circ i(x_1)$
   
   ( х 1 ∘ $\theta\{x \;\leftarrow \;x_1;\; y\;\leftarrow \;i(x_1)\}$ $$\begin{CD} (x_1\circ i(x_1))\circ z @>>> e\circ z\\ @VVV @VVV\\ x_1\circ(i(x_1)\circ z) @>>> ? \end{CD}$$
   

В качестве вспомогательного документа у меня есть «Переписывание терминов и все такое» Франца Баадера и Тобиаса Нипкова.

( оригинальное изображение здесь )

EDIT1

После поиска критических пар у меня есть следующий набор правил (при условии, что 2.a является corect):

Прежде чем обратиться к актуальным вопросам, сделайте одно замечание о вашей работе: отмена слева в 2.a. в общем случае неверно, критической парой будет просто . Следовательно, вы не получите критическую пару 2.b. Проблема с этой отменой состоит в том, что полученное вами уравнение в общем случае не следует из аксиом, с которых вы начали; например, если вы работаете на языке колец, в какой-то момент вы можете получить критическую пару , но было бы неправильно вывести (что означало бы, что у вас есть только тривиальная модель). Никакая процедура перезаписи звука, включая процедуру Хьюта, не должна допускать такого сокращения.$x\circ(e\circ z) \approx x\circ z$$0*x \approx 0*y$$x\approx y$

С другой стороны, вам не хватает критических пар, которые вы получаете, объединяя (переменные с переименованными версиями) или со всеми (т.е. используя второй ). Результирующие критические пары$x\circ e$$x\circ i(x)$$(x\circ y)\circ z$$\circ$

• $x\circ(y\circ e)\leftarrow (x\circ y)\circ e\to x\circ y$ , которое после редукции становится тривиальным уравнением , и$x\circ y\approx x\circ y$
• $x\circ(y\circ i(x\circ y))\leftarrow(x\circ y)\circ i(x\circ y)\to e$ , который не может быть уменьшен далее и дает правило (при условии, что в старшине используется для определения LPO, так же, как вы это делали, ориентируя ).$x\circ(y\circ i(x\circ y))\to e$$\circ\triangleright e$$\triangleright$$x\circ i(x)\approx e$

Для основной процедуры завершения:

1. Всякий раз, когда вы создаете критическую пару, вы максимально сокращаете обе стороны, используя текущий набор правил. Если полученные нормальные формы не равны, вы создаете новое правило. Например, ваш 2.c. дает новое правило . С другой стороны, объединение с дает критическую пару , который можно уменьшить до тривиального и отбрасывается.( x ∘ y ) ∘ z x 1 ∘ y 1 ( x ∘ y ) ∘ ( z ∘ z $x\circ(i(x)\circ z)\to e\circ z$$(x\circ y)\circ z$$x_1\circ y_1$ x ∘ ( y ∘ ( z z ∘ z 1 ) $(x\circ y)\circ(z\circ z_1)\leftarrow((x\circ y)\circ z)\circ z_1\to(x\circ(y\circ z))\circ z_1$$x\circ(y\circ(z\circ z_1))\approx x\circ(y\circ(z\circ z_1))$
2. Всякий раз, когда вы создаете новое правило , вы должны учитывать все критические пары между ним и существующими правилами , проверяя унифицируемость с каждым не переменным и наоборот. Также не забудьте проверить, не перекрываются ли они сами, то есть неуязвимость со своими собственными подтермами, как мы делали выше для ассоциативности. Вы останавливаетесь только тогда, когда все критические пары существующих правил были изучены и либо создали новые правила, либо были отброшены.l 1 → r 1 , … , l n → r n l l i$l\to r$$l_1\to r_1,\dots,l_n\to r_n$$l$$l_i$$l$

Эту процедуру можно немного улучшить. В частности, вы можете использовать новые правила, чтобы упростить старые (и, возможно, отбросить их, если они станут тривиальными, что означает, что они включены в новое правило), а хорошая эвристика для выбора следующей критической пары для анализа может резко сократить количество правил.