Бесконечные вычисления за конечное время

Это, вероятно , глупая мысль, но предположим , что у нас есть компьютер , который запрограммирован для выполнения бесконечную последовательность расчетов и предположим , что расчет занимает секунд. Тогда этот компьютер может выполнять бесконечное количество вычислений за конечное время. $i^\text{th}$ $1/2^i$

Почему это невозможно? Существует ли нижняя граница того, сколько времени потребуется для выполнения нетривиального вычисления?

computability computation-models

— dsaxton
источник

Родственная концепция, бесконечные вычисления с использованием конечной энергии: вечный разум Дайсона .

— Питер

Ответы:

Этот «вид» компьютера известен как Zeno Machine . Его вычислительная модель попадает в категорию под названием Гиперкомпьютер . Гиперкомпьютерные модели являются математическими абстракциями, и из-за того, как они определены для работы, они физически невозможны.

Возьмите свою машину Zeno, например. Если мы представим, что Zeno Machine является вычислительной машиной любого типа, не имеет значения, использует ли она счет или интегральную схему. Скажем, данные программы, используемые машиной, передаются на нее бесконечно длинной лентой символов (как машина Тьюринга).

Конечно, мы знаем из математики, что:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}... = \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^n$

который мы говорим, равен . Таким образом, вычисление должно завершиться за 1 секунду, потому что сумма абсолютно сходится. $1$

Но эта сходимость, конечно, зависит от того, что стремится к бесконечности (и достигает ее). В физическом смысле это означает, что по мере того, как время, необходимое для каждого вычисления, уменьшается, «считывающая головка» вычислительной машины будет все быстрее и быстрее перемещаться по символам на ленте. В какой-то момент эта скорость превысит скорость света. $n$

Таким образом, отвечая на ваш второй вопрос, абсолютная наименьшая возможная граница для расчета, вероятно, будет порядка планковского времени, учитывая скорость света как основной ограничивающий фактор в теоретических, но физически вероятных моделях вычислений.

— Теория Всего
источник

Существуют также потребности в энергии для каждой операции, листать бит

раз требуют на несколько порядков больше энергии , чем в наших ВС

2^{256}

$2^{256}$

— храповой урод

Эта программа: 10: GOTO 10 заканчивается на машине Zeno?

— Cano64

Проще говоря, математика предполагает, что «вычисление» бесконечно делится по объему. Однако это не относится к любой физической машине, поскольку в конечном итоге вы достигаете точки, когда вы попадаете на наименьшую единицу работы, которую машина может выполнить. После этого невозможно продолжить подразделение вычисления, хотя математика позволяет вам. Другими словами, машина выходит из строя задолго до того, как вы действительно приближаетесь к концу бесконечной серии вычислений. В какой-то момент время на расчеты перестает уменьшаться, и вам в конечном итоге нужно бесконечное время.

— Аромат

@ Cano64 Я так не думаю. Я полагаю, что критерий разрешимости в гиперкомпьютере состоит в том, что временная сумма вычисления абсолютно сходится.

— Теория всего

Время, затрачиваемое на примитивные вычисления, ограничено скоростью света и размерами атомов, насколько мы понимаем физику в тот же день, 15 сентября 2015 года.

Вычислительная единица должна быть построена из чего-то ненулевого размера (атомов), и для того, чтобы вычисления работали, электричество или свет должны будут проноситься через него, что будет ограничено тем, как долго свет проникает через нулевое расстояние.

— Дэйв Кларк
источник

Одним конкретным примером в недавней истории науки, которая раздвигает границы, является гигантское магнитосопротивление , открытие, удостоенное Нобелевской премии, которое позволило обеспечить плотность данных на жестких дисках, которые ранее считались невозможными. Есть много, много больше, если вы вернетесь; Попробуй объяснить возможности «смартфона» человеку с 1500 года нашей эры. (Они могут просто сжечь вас как ведьму, поэтому будьте осторожны.) Поэтому я думаю, что мы не должны предполагать, что наши нынешние знания физики накладывают жесткие ограничения на то, что возможно.

— Рафаэль

-1

$\Sigma_{n=1}^\infty (\frac{1}{2})^n$ $1$

$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{3}{4}$ литра в красном. Теперь продолжайте, всегда выливая половину того, что находится в синем ведре, в красное ведро. Ясно, что вы никогда не получите больше одного литра в красное ведро, и точно так же у вас всегда будет больше воды в голубом ведре для переливания.

$c_1$ $c_1$

Изменить : Как отметил @aroth, эта аналогия предполагает, что мы можем продолжать делить воду навсегда; что нет наименьшего неделимого атома. Это поднимает интересный (я думаю) момент, что мы должны также предположить, что время должно быть произвольно делимым, чтобы вычисление завершилось за конечное время.

— epa095
источник

«и так же ясно, что у вас всегда будет больше воды в голубом ведре, чтобы вылить» - не обязательно. С достаточно точным наливным устройством вы в конечном итоге достигнете точки, где в синем ведре находятся 2 молекулы воды. Тогда 1 молекула. Затем либо выливаете последнюю молекулу, либо нет. Или вы разбиваете его на основные атомы, но тогда это больше не вода (или не наливается в STP). Суть в том, что вы дойдете до последней молекулы воды задолго до того, как доберетесь до конца бесконечного ряда, поэтому в голубом ведре «всегда» не будет воды.

— aroth

@aroth: да, правда, чтобы аналогия работала, вы должны думать о воде как об удовлетворяющей «плотности», своего рода «всегда делимости». Ваша точка зрения интересна, поскольку она подчеркивает что-то важное; чтобы вычисление закончилось за конечное время, время также должно быть плотным / всегда делимым. Если существует кратчайшее количество времени, неделимая атомная единица времени, тогда бесконечное вычисление займет бесконечное время (или каждое вычисление не должно занимать время каждый после некоторой точки).

— epa095

\sum_{i = 1}^{\infty} 2^{- i}

$\sum_{i=1}^\infty 2^{-i}$

2^{- i}

$2^{-i}$

@ david-richerby: разве проблема не решается по-другому, давая более простой способ думать об этом, именно то , что нужно для обеспечения интуиции? Также обратите внимание, что вы также решаете проблему, начиная с количества времени и заканчивая суммой рациональных чисел. (Очень) короткий шаг, да, но, тем не менее, отдых. Если вы знаете о сходимости сумм рациональных чисел, это повторение облегчает понимание, но для некоторых я уверен, что это легче понять с точки зрения воды. По крайней мере, я впервые понял, почему некоторые бесконечные суммы сходятся, а некоторые нет.

— epa095

@ epa095 Предоставление интуиции включает в себя объяснение незнакомой ситуации путем ссылки на знакомую ситуацию и использование знакомства с одной ситуацией для понимания другой. Вы этого не делаете: вы пытаетесь объяснить одну незнакомую ситуацию (вычисление бесконечной сходящейся суммы) другой (наливая ведра бесконечно делимой воды с идеальной точностью). Люди, которые знают о сходимости сумм, не нуждаются в аналогии; для людей, которые не знают о сходимости сумм, переименование «рационального числа» в «количество гипотетической воды» не помогает.

— Дэвид Ричерби,