Некоторые вопросы по параллельным вычислениям и классу NC

14

У меня есть ряд связанных вопросов по этим двум темам.

Во- первых, большинство текстов сложности только замазывать класс $\mathbb{NC}$ . Есть ли хороший ресурс, который более подробно освещает исследования? Например, то, что обсуждает все мои вопросы ниже. Кроме того, я предполагаю, что $\mathbb{NC}$ все еще видит значительный объем исследований из-за его связи с распараллеливанием, но я могу ошибаться. Раздел в зоопарке сложности не очень помогает.

Во-вторых, вычисление над полугруппой происходит в $\mathbb{NC}^1$ если мы предположим, что операция полугруппы занимает постоянное время. Но что, если операция не требует постоянного времени, как в случае неограниченных целых чисел? Существует ли какая - либо известные $\mathbb{NC}^i$ -полных проблема?

В-третьих, поскольку $\mathbb{L} \subseteq \mathbb{NC}^2$ , существует ли алгоритм для преобразования любого алгоритма пространства журнала в параллельную версию?

В- четвертых, это звучит , как и большинство людей считают , что $\mathbb{NC} \ne \mathbb{P}$ таким же образом , что $\mathbb{P} \ne \mathbb{NP}$ . Какова интуиция за этим?

В-пятых, каждый текст, который я прочитал, упоминает класс но не дает примеров проблем, которые он содержит. Есть ли? $\mathbb{RNC}$

Наконец, в этом ответе упоминаются проблемы в с сублинейным параллельным временем выполнения. Каковы некоторые примеры этих проблем? Существуют ли другие классы сложности, которые содержат параллельные алгоритмы, о которых не известно, что они находятся в ? $\mathbb{P}$ $\mathbb{NC}$

— Майк Избицкий
источник

1

Также обратите внимание на этот похожий вопрос.

— Николас Манкузо

9

В-третьих, поскольку , существует ли алгоритм для преобразования любого алгоритма пространства журнала в параллельную версию? $\sf{L} \subseteq \sf{NC}^2$

Можно показать (учебник Ароры и Барака), учитывая -время TM , что забывающий TM (то есть TM, чье движение головы не зависит от его входа ) может построить схему для вычисления где . $t(n)$ $M$ $M'$ $x$ $C_n$ $M(x)$ $|x| = n$

Эскиз доказательства в соответствии с тем, что моделирует и определяет «снимки» его состояния (то есть положения головы, символы на головках) на каждом временном шаге (представьте себе журнал вычислений). Каждый шаг можно вычислить из и состояния . Поскольку каждый снимок включает только строку постоянного размера, и существует только постоянное количество строк этого размера, снимок в момент времени может быть вычислен схемой постоянного размера. $M'$ $M$ $t_i$ $t_i$ $x$ $t_{i-1}$ $t_i$

Если вы составляете схемы постоянного размера для каждого у нас есть схема, которая вычисляет . Используя этот факт, наряду с ограничением того, что язык находится в мы видим, что наша схема по определению является лог-пространственно-равномерной , где единообразие просто означает, что наши схемы в нашем семействе схем вычисляют у всех одинаковый алгоритм. Не индивидуальный алгоритм для каждой схемы, работающей на входном размере . $t_i$ $M(x)$ $M$ $\sf{L}$ $C_n$ $\{C_n\}$ $M(x)$ $n$

Опять же, из определения равномерности мы видим, что схемы, определяющие любой язык в должны иметь функцию вычисляемую в Семейство цепей имеет не более глубины. $\sf{L}$ $\text{size}(n)$ $O(\log n).$ $\sf{AC}^1$ $O(\log n)$

Наконец, можно показать, что дает соотношение, о котором идет речь. $\sf{AC}^1 \subseteq \sf{NC}^2$

В- четвертых, это звучит , как и большинство людей считают , что таким же образом , что . Какова интуиция за этим? $\sf{NC} \neq \sf{P}$ $\sf{P} \neq \sf{NP}$

Прежде чем идти дальше, давайте определим, что означает -полнота. $\sf{P}$

Язык является -полным, если и каждый язык в сводится к нему в лог-пространстве. Кроме того, если является -завершенным, то верно следующее $L$ $\sf{P}$ $L \in \sf{P}$ $\sf{P}$ $L$ $\sf{P}$

$L \in \sf{NC} \iff \sf{P} = \sf{NC}$
$L \in \sf{L} \iff \sf{P} = \sf{L}$

Теперь мы рассматриваем как класс языков, эффективно определяемых параллельным компьютером (нашей схемой). В есть некоторые проблемы, которые, по-видимому, противостоят любым попыткам распараллеливания (например, линейное программирование и проблема значений схемы). То есть некоторые проблемы требуют, чтобы вычисления выполнялись поэтапно. $\sf{NC}$ $\sf{P}$

Например, проблема значения схемы определяется как:

Для данной схемы , входа и вентиля , каков выход на ? $C$ $x$ $g \in C$ $g$ $C(x)$

Мы не знаем, как вычислить это лучше, чем вычислять все ворота которые предшествуют . Учитывая, что некоторые из них могут быть вычислены параллельно, например, если они все происходят на некотором временном шаге , но мы не знаем, как вычислить выходные данные затворов на временном шаге и временном шаге для очевидной трудности что ворота в требуют вывода ворот в ! $g'$ $g$ $t_i$ $t_i$ $t_{i+1}$ $t_{i+1}$ $t_i$

Это интуиция за . $\sf{NC} \neq \sf{P}$

Пределы параллельных вычислений - это книга о полноте в том же духе, что и книга Garey & Johnson's Complete. $\sf{P}$ $\sf{NP}$

— Николас Манкузо
источник

Спасибо за 2 ссылки и частичный ответ. Книга «Пределы параллельных вычислений» работает лучше, чем другие книги, на которые я смотрела, но она все еще относительно старая и не настолько полная, как хотелось бы.

— Майк Избицкий

3

В-пятых, каждый прочитанный текст упоминает класс RNC, но не содержит примеров проблем, которые он содержит. Есть ли?

В работе «Сопоставление так же просто, как и в матричной инверсии» Мулмулей, Вазирани и Вазирани есть несколько примеров проблем в классе . Главное - найти максимальное совпадение, тогда они сводят другие проблемы к этому. $\mathbb{RNC}^2$

— Майк Избицкий
источник