Каковы самые простые примеры программ, которые мы не знаем, заканчиваются ли они?

Проблема с остановкой утверждает, что нет алгоритма, который бы определял, останавливается ли данная программа. Как следствие, должны быть программы, о которых мы не можем сказать, прекращаются они или нет. Каковы самые простые (самые маленькие) известные примеры таких программ?

Довольно простым примером может служить программа, проверяющая гипотезу Коллатца :

Это известно , чтобы остановить по до , по крайней мере , но в целом это открытая проблема.$n$$5 × 2^{60} ≈ 5.764 × 10^{18}$

Проблема с остановкой утверждает, что нет алгоритма, который бы определял, останавливается ли данная программа. Как следствие, должны быть программы, о которых мы не можем сказать, прекращаются они или нет.

«Мы» не являются алгоритмом =) Не существует общего алгоритма, который мог бы определить, останавливается ли данная программа для каждой программы .

Каковы самые простые (самые маленькие) известные примеры таких программ?

Рассмотрим следующую программу:

n = 3
while true:
    if is_perfect(n):
            halt()
    n = n + 2

Функция is_perfect проверяет, является ли n идеальным числом . Неизвестно, существуют ли какие-то нечетные совершенные числа, поэтому мы не знаем, останавливается ли эта программа или нет.

Ты пишешь:

Проблема с остановкой утверждает, что нет алгоритма, который бы определял, останавливается ли данная программа. Как следствие, должны быть программы, о которых мы не можем сказать, прекращаются они или нет.

Это не sequitur, в обоих направлениях. Вы уступаете распространенному заблуждению, к которому стоит обратиться.

Для любой фиксированной программы ее проблема остановки («Всегда ли останавливается?») Всегда разрешима, потому что ответ - «да» или «нет». Даже если вы не можете сказать, что это, вы знаете, что один из двух тривиальных алгоритмов всегда отвечает «да», соответственно. «нет» решает проблему останова.$P$$P$$P$

Только если вы требуете, чтобы алгоритм решал проблему остановки для всех программ, вы можете показать, что такой алгоритм не может существовать.

Теперь, зная, что проблема Остановки неразрешима, не подразумевает, что есть какие-то программы, которые никто не может доказать или завершить. Даже если вы не более мощны, чем машина Тьюринга (что является лишь гипотезой, а не доказанным фактом), все, что мы знаем, это то, что ни один алгоритм / человек не может предоставить такое доказательство для всех программ. Может быть другой человек, который может принять решение для каждой программы.

Еще немного связанных чтения:

• Как можно решить, имеет ли некоторую последовательность цифр?$\pi$
• Человеческая вычислительная мощь: могут ли люди решить проблему остановки на машинах Тьюринга?
• Алгоритм решения «проблемы остановки» Тьюринга
• Синтез программ, разрешимость и проблема остановки
• Можно ли решить проблему остановки, если у вас есть ограниченный или предсказуемый ввод?
• Почему все функции не перечисляются?

Итак, вы видите, что ваш фактический вопрос (как повторяется ниже) не имеет ничего общего с тем, является ли проблема остановки вычислимой. Вообще.

Каковы самые простые (самые маленькие) известные примеры [программ, которые мы не знаем, чтобы остановить или зациклить]?

Это само по себе является правильным вопросом; другие дали хорошие ответы. По сути, вы можете преобразовать каждое утверждение с неизвестным значением истинности в пример, при условии, что оно имеет значение истинности:$S$

$\qquad\displaystyle g(n) = \begin{cases}1, &S \text{ true},\\ g(n+1), &\text{else}.\end{cases}$

Конечно, это не очень "естественно".

1. Не обязательно все , но «многие» в некотором смысле. Бесконечно много, по крайней мере.

Любая открытая проблема, касающаяся существования числа с определенными свойствами, порождает такую ​​программу (ту, которая ищет такое число). Например, возьмите гипотезу Коллатца; поскольку мы не знаем, правда ли это, мы также не знаем, завершается ли следующая программа:

    n:=1;
    found:=false;
    while not found do
      s:={};
      i:=n;
      while i not in s do
        add i to s;
        if i even then i:=i/2 else i:=3i+1
      if 1 not in s then found:=true;
      n:=n+1  

Учитывая, что проблема занятого бобра не решена для машины Тьюринга с 5 состояниями и 2 символами, должна быть машина Тьюринга только с пятью состояниями и только двумя символами, которые не были показаны для остановки или нет при запуске для пустой ленты , Это очень короткая, лаконичная и закрытая программа.

вопрос сложный, потому что разрешимость (формализация / обобщение проблемы остановки в CS-эквиваленте) связана с языками, поэтому ее необходимо переписать в этом формате. на это, похоже, не особо указывают, но многие открытые проблемы в математике / CS могут быть легко преобразованы в проблемы (языки) с неизвестной разрешимостью. это из-за тесного соответствия между доказательством теорем и (не) анализом разрешимости. например (чем-то похожий на другой ответ с нечетными совершенными числами), возьмите гипотезу о двойных простых числах, которая датируется греками (более 2 тысячелетий назад) и является предметом значительных недавних исследований, например, Чжаном / Тао. преобразовать его в алгоритмическую задачу следующим образом:

Вход: n . Вывод: Y / N существует не менее n двойных простых чисел.

алгоритм ищет двойные простые числа и останавливается, если находит n из них. неизвестно, является ли этот язык разрешимым. Решение проблемы двойных простых чисел (которая спрашивает, существует ли конечное или бесконечное число) также разрешило бы разрешимость этого языка (если он также доказан / обнаружен, сколько существует, если он конечен).

Другой пример, возьмите гипотезу Римана и рассмотрите этот язык:

Вход: n . Вывод: Y / N существует не менее n нетривиальных нулей дзета-функции Римана.

алгоритм ищет нетривиальные нули (код не особенно сложен, он похож на поиск корней, и есть другие относительно простые эквивалентные формулировки, которые в основном вычисляют суммы «четности» всех простых чисел, меньших x и т. д.) и останавливается, если он находит n из них и, опять же, неизвестно, является ли этот язык разрешимым, а разрешение «почти» эквивалентно решению гипотезы Римана.

Теперь, как насчет еще более впечатляющего примера? ( Предостережение, вероятно , более спорным, а)

Входные данные: c: Выходные данные: Да / Нет, существует алгоритм O (n ^c ) для SAT.

аналогично, разрешение разрешимости этого языка почти эквивалентно проблеме P vs NP . однако в этом случае есть менее очевидный случай для «простого» кода.

$1 ≤ n ≤ 10^{50}$

$10^{20}$