Когда конкатенация двух обычных языков однозначна?

16

Указанные языки и , скажем , что их конкатенация является однозначной , если для всех слов , существует ровно один разложение с и , и неоднозначном иначе. (Я не знаю, есть ли установленный термин для этого свойства - трудная вещь для поиска!) В качестве тривиального примера, конкатенация с самим собой неоднозначна ( ), но сцепление с самим собой однозначно. $A$ $B$ $AB$ $w \in AB$ $w = ab$ $a \in A$ $b \in B$ $\{\varepsilon, \mathrm{a}\}$ $w = \mathrm{a} = \varepsilon \mathrm{a} = \mathrm{a} \varepsilon$ $\{\mathrm{a}\}$

Существует ли алгоритм для определения того, является ли объединение двух регулярных языков однозначным?

— rstern
источник

1

Ага, это проблема первокурсника CS, не так ли? Честно говоря, я не очень старался; Я надеялся, что где-то в литературе есть установленный алгоритм для этого, и мне не придется изобретать велосипед. Я пишу программное обеспечение здесь; Я только взял несколько курсов CS (несколько лет назад), поэтому я в основном начинаю с Википедии. Я знаю, что никому не нравится кто-то, кто не хочет работать за их ответ, поэтому, если есть учебник, статья или что-то, на что вы могли бы указать мне, вместо того, чтобы просто передать мне алгоритм, это было бы полезно! Благодарность!

— rstern

Я добавил это как комментарий, потому что, ну, это относительно не по теме, но, возможно, может привести вас к некоторой помощи. Консорциум Unicode имеет несколько процессов для определения общности языков. Я прочитал очень информативную ссылку на их сайте, но, судя по всему, не смог найти сегодня, чтобы вместо этого ответить. Если у вас есть время , чтобы исследовать это здесь их FAQ Страница unicode.org/faq

— htm11h

10

Подсказка: учитывая DFA для и , создайте NFA, который принимает слова в имеющие как минимум два разных разложения. NFA отслеживает две копии стандартного NFA для (сформированных путем объединения DFA для и с переходами ), обеспечивая переключение с на в двух разных точках. $A$ $B$ $AB$ $AB$ $A$ $B$ $\epsilon$ $A$ $B$

— Юваль Фильмус
источник

Спасибо за подсказку! Поэтому, если я понимаю, я могу построить NFA для неоднозначных слов в

а затем проверить этот автомат на пустоту. Сложная часть, кажется, «гарантирует, что переключение с

на

происходит в двух разных точках». Я не уверен , как это сделать, кроме принимая декартово произведения (?) Два

ДКИ и удаления всего ( терминальном, handwaving терминальном) продукта государство-я, я обеспокоен тем, что переход от

NFA к

DFA ввернул бы идею

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A B

$AB$

A

$A$

A

$A$

A B

$AB$

A B

$AB$

A

$A$ -Терминал. Звучит, но неэффективно; Есть ли известный алгоритм, подходящий для программного обеспечения?

— rstern

Да, это звучит не слишком эффективно, хотя всегда есть возможность сделать это разумно. Я не знаю ни одного конкретного алгоритма для этой проблемы, но он может существовать.

— Юваль Фильмус

7

Обновлено (спасибо Yuval Filmus).

Для двух языков и в пусть $X$ $Y$ $A^*$ Я утверждаючтоявляется однозначным тогда и только тогдакогдаязыкепуст.

\begin{aligned} X^{- 1} Y & = {u \in A^{*} ∣ there exists x \in X such that x u \in Y} \\ Y X^{- 1} & = {u \in A^{*} ∣ there exists x \in X such that u x \in Y} \end{aligned}

$\begin{align} X^{-1}Y &= \{u \in A^* \mid \text{there exists $x \in X$ such that $xu \in Y$} \} \\ YX^{-1} &= \{u \in A^* \mid \text{there exists $x \in X$ such that $ux \in Y$} \} \end{align}$

X Y

$XY$

X^{- 1} X \cap Y Y^{- 1} \cap A^{+}

$X^{-1}X \cap YY^{-1} \cap A^+$

Доказательство . Предположим, что неоднозначно. Тогда существует слово , который имеет два разложения над , скажем , , где и . Без ограничения общности можно считать, что является префиксом , то есть $XY$ $u$ $XY$ $u = x_1y_2 = x_2y_1$ $x_1, x_2 \in X$ $y_1, y_2 \in Y$ $x_1$ $x_2$ для некоторого . Отсюда следует, что , откуда . Таким образом, . $x_2 = x_1z$ $z \in A^+$ $u = x_1y_2 = x_1zy_1$ $y_2 = zy_1$ $z \in X^{-1}X \cap YY^{-1}$

Предположим теперь, что содержит некоторое непустое слово . Тогда существуют и такие, что и . Отсюда следует, что $X^{-1}X \cap YY^{-1}$ $z$ $x_1, x_2 \in X$ $y_1, y_2 \in Y$ $x_2 = x_1z$ $y_2 = zy_1$ $x_2y_1 = x_1zy_1 = x_1y_2$ $XY$

$X$ $Y$ $X^{-1}X$ $YY^{-1}$ $X^{-1}X \cap YY^{-1}$

— J.-E. Штырь
источник

Что, если

z

$z$ is the empty word?

— Yuval Filmus

Ooops. I update.

— J.-E. Pin