Определение проблемы остановки для недетерминированных автоматов

18

Основное определение машины Тьюринга (ТМ), по крайней мере, в моем собственном справочнике (Hopcroft + Ullman 1979), является детерминированным.

Следовательно, мое собственное понимание проблемы остановки главным образом относится к детерминированной ТМ, хотя я знаю, что это может быть рассмотрено для других видов автоматов.

Я также заметил, что детерминизм часто более или менее скрыт в том, как люди часто ссылаются на ТМ или на проблему остановки. Страница википедии о проблеме остановки - хороший тому пример.

Но, похоже, нет причин для такого ограничения. Учитывая семейство автоматов которое может быть недетерминированным, проблема остановки для может быть определена как: $\mathcal F$ $\mathcal F$

Существует единая процедура принятия решения таким образом, что, учитывая автомат и вход , он может решить , есть ли остановка вычисление на входе . $A\in\mathcal F$ $x$ $A$ $x$

(Это не совсем то же самое, что сказать, что вычисление с вводом будет прекращено.) $A$ $x$

Действительно, это кажется единственным способом придать смысл дискуссиям о проблеме остановки для линейных ограниченных автоматов (LBA), которые в основном являются недетерминированными автоматами.

Таким образом, мой вопрос заключается в том, прав ли я, и есть ли причина (и какая причина) для этого явно второго класса рассмотрения проблемы остановки для недетерминированных автоматов.

— Babou
источник

Если вы считаете, что что-то не так в этом вопросе, не могли бы вы рассказать, что это такое, чтобы мы могли извлечь пользу из ваших знаний и улучшить публикацию для всех пользователей. Спасибо.

— Бабу

12

Я думаю, что есть несколько причин, по которым мы прилагаем меньше усилий к проблеме Халтинга для недетерминированных моделей.

Во-первых, для модели ND на самом деле существуют две важные проблемы остановки. При заданном входе и недетерминированной машине : $x$ $M$

Существует ли действительный прогон на который останавливается? $M$ $x$
Существует ли действительный прогон на который не останавливается? т. е. все действительные пробеги останавливаются? $M$ $x$

Для детерминированных машин, они идентичны, так как существует ровно один действительный пробег на входе . Но для недетерминированных машин может быть несколько прогонов. Какой из них вас интересует, зависит от вашего приложения. $M$ $x$

Во-вторых, недетерминированные модели уже нереалистичны: они предполагают, что у вас либо есть волшебный ящик, сообщающий вам, какой путь выбрать, либо что у вас есть какая-то форма бесконечного параллелизма. Поскольку недетерминированные и детерминированные машины Тьюринга эквивалентны по мощности, в большинстве случаев вы просто конвертируете машину в детерминированную, прежде чем беспокоиться об остановке.

Как продолжение этого, нам все равно, потому что доказать что-то о недетерминированной машине так же сложно, как доказать что-то об эквивалентной детерминированной машине. Мы уже знаем, что не существует решения для детерминированной проблемы остановки, поэтому все, для чего она действительно полезна, - это доказывать, что другие проблемы неразрешимы посредством сокращений. И всегда будет меньше работы, чтобы свести к детерминированной проблеме остановки, так как это проще, чем ее недетерминированный аналог.

— jmite
источник

Вы утверждаете: « Но для недетерминированных машин может быть несколько запусков. Какой из них вас интересует, зависит от вашего приложения». Не могли бы вы проиллюстрировать это утверждение на примере? Затем вы заявляете: « Вы просто конвертируете машину в детерминированную, прежде чем беспокоиться об остановке ». Как это делается для LBA?

— Бабу

LBA являются подмножеством недетерминированных машин Тьюринга, поэтому их всегда можно преобразовать в детерминированные машины Тьюринга, используя обычный метод. Я подозреваю, что есть специальная конструкция, которую можно использовать для преобразования в машину с определенными свойствами, поэтому мы можем сохранить дополнительную способность рассуждать, которую мы получаем от LBA. Я думаю, что это будет выглядеть как алгоритм обратного отслеживания, в котором используется линейное пространство, за исключением того, что стек вызовов потенциально может быть экспоненциально большим (я не уверен, мне придется его искать).

— Jmite

Для нескольких путей рассмотрим две машины

, одна из которых всегда останавливается на входе

, а другая никогда не выполняется для

. Мы можем создать новый LBA

который начинается с недетерминированного выбора логического значения. Если он выбирает true, он запускает

на входе x. Если он выбирает false, он запускает

на

. Каждый выбор истины и ложи - это разные «беги». Эта машина останавливается на

? Существует путь, где он останавливается на

, но он не останавливается для всех путей, читающих

.

M_{1}, M_{2}

$M_1, M_2$

x

$x$

x

$x$

M

$M$

M_{1}

$M_1$

M_{2}

$M_2$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— Jmite

1

@HendrikJan Кажется, что остановка NLBA скорее решена с помощью теоремы Савича . Но это меняет линейную границу на квадратичную.

— Бабу

1

@ Рафаэль, что я имею в виду, это то, что, чтобы показать проблему

неразрешимой, вы показываете, что вы можете использовать

для имитации другой неразрешимой проблемы. Поскольку существует тривиальное инъективное отображение из DTM в NTM, любое сокращение от остановки NTM также является сокращением от остановки DTM. Обычно было бы меньше работы по сокращению от остановки DTM, так как это менее сложная проблема, которую вы пытаетесь смоделировать.

P

$P$

P

$P$

— Jmite

4

Проблема остановки является наиболее существенной -полной проблемой, поскольку она может быть сформулирована как: $\Sigma_1$

. $H(P,x) \leftrightarrow \exists c \, \text{ s. t. $c$ is a halting computing of $P$ on $x$}$

Это говорит о том, что ваше определение является правильным. В общем, каждое -полное определение является «правильным». $\Sigma_1$

— Юваль Фильмус
источник

К сожалению, я почти ничего не знаю об арифметической иерархии. Правильно ли я понимаю, что

представляет полуразрешимые проблемы? Как насчет:

Σ_{1}

$\Sigma_1$

, Я спрашиваю, потому что экзистенциальные и универсальные количественные оценки, похоже, заканчиваются в разных классах, но для меня все это туманно.

также является полуразрешимым.

K (P, x) \leftrightarrow \forall c, c is a computing of P on x ⟹ c is halting.

$K(P,x)\leftrightarrow\forall c, c\text{ is a computing of $P$ on $x\implies c$ is halting.}$

K

$K$

— Бабу

Я боялся, что ты ответишь. Я спросил, потому что я думаю, что у меня есть процедура полу-решения для этого. Так что либо мои доказательства неверны, либо я неправильно сформулировал проблему. По сути, это предложение jmite о том, что недетерминированная остановка на входе

может быть определена путем требования остановки всех вычислений на

. И я до сих пор верил, что у меня есть полу-решение для этого.

x

$x$

x

$x$

— Бабу

На самом деле ваше определение не годится по другой причине: что вы подразумеваете под «

останавливается»? Либо вы имеете в виду, что

, который априори является только неполным вычислением, на самом деле завершен. В этом случае

никогда не бывает истинным, поскольку вы можете принять

за пустое вычисление. В любом другом случае, не ясно, что описание

конечно, и также не ясно, что предикат "

останавливается" вычислим.

c

$c$

c

$c$

K (P, x)

$K(P,x)$

c

$c$

c

$c$

c

$c$

— Юваль Фильмус

Так что на самом деле проблема в

но, вероятно, не в

-полном.

Π_{1}

$\Pi_1$

Π_{1}

$\Pi_1$

— Юваль Фильмус

Спасибо, и извините за мое наивное чтение. Я думал, что

вы использовали, означал «полные» вычисления, что, по-видимому, является ошибкой в измеренном домене. Я предполагаю, что можно использовать только счетные домены, а набор неубывающих вычислений недетерминированной ТМ не подходит. Также я предполагаю, что квантификаторы говорят нам, насколько плохой может быть вычислимость, но не дают никакой гарантии, что это так плохо. Таким образом, кажется, что предложение jmite нелегко выразить прямым образом в требуемом «формате», но моя процедура полуопределения может быть правильной.

c

$c$

— Бабу

2

Вы говорите, что существует «очевидная обработка второго класса» проблемы остановки для недетерминированных машин. Похоже, что недетерминизм не рассматривался исторически до тех пор, пока Турингс не создал детерминированную ТМ, и это может иметь какое-то отношение к исследованиям в этой области. однако главное здесь заключается в том, что недетерминированная проблема может быть легко сведена к детерминированной проблеме, поэтому нужно только изучить детерминированную проблему "без потери общности".

кроме того, чтобы противостоять идее «2-го класса», здесь есть, по крайней мере, одна ссылка / статья, которая изучает проблему остановки для недетерминированных машин и находит полезные / глубокие связи. некоторые косвенные свидетельства того, что исследования CS настолько обширны / специализированы, иногда начинаются некоторые исследования в большинстве областей, даже кажущиеся узкими, и они могут приблизиться к почти бессмысленному или расщеплению волос, чтобы ранжировать различные проблемы по их важности. и наоборот, недетерминизм кажется очень глубоким / вездесущим / сквозным понятием в CS (ключевые открытые вопросы, такие как P против NP, находятся на нем), и этот аспект, вероятно, сохранится еще долго в будущем.

Параметризованная проблема остановки / Чен, Флум

Абстрактный. Параметризованная задача p-Halt принимает в качестве входных данных недетерминированную машину Тьюринга M и натуральное число n, причем размер M является параметром. Он спрашивает, занимает ли каждый принимающий прогон M на пустой входной ленте больше, чем n шагов. Эта проблема есть в классе XPuni, классе «равномерной XP», если существует алгоритм, решающий ее, который для фиксированной машины M выполняется за полиномиальное время от n. Оказывается, что различные открытые проблемы различных областей теоретической информатики связаны или даже эквивалентны p-Halt ∈ XPuni. Таким образом, это утверждение образует мост, который позволяет вывести эквивалентности между утверждениями разных областей (теория доказательств, теория сложности, описательная сложность и т. Д.), Которые на первый взгляд кажутся несвязанными. Как показывает наша презентация,

— ВЗН
источник

2

В двух словах

Кажется, нет веской причины пренебрегать проблемой остановки в настройках, которые не являются классическими для детерминированных машин Тьюринга, за исключением того факта, что классическая проблема остановки отвечает на некоторые основные математические вопросы (такие как проблема Entscheidungs ), в то время как варианты являются только интересные (?) технические проблемы, но с меньшим влиянием на основы.

$A$ $x$

Согласно ответу jmite, эта недетерминированная остановка может быть определена как соответствующая существованию хотя бы одного вычисления остановки ( экзистенциальная остановка ), или в качестве альтернативы требованию остановки всех возможных вычислений ( универсальная остановка ). Эти два определения соответствуют двум различным определениям недетерминированной проблемы остановки.

Я показываю, что для машин Тьюринга эти два определения соответствуют двум различным способам определения машины путем согласования. Исходя из этого, я делаю вывод, что оба варианта недетерминированной проблемы остановки оба тьюрингово эквивалентны классической детерминированной проблеме остановки .

Однако я также показываю, что каждое из этих определений остановки напрямую связано с соответствующим определением языка, распознаваемого машиной Тьюринга, и это отношение может быть просто выражено при условии выбора последовательных определений.

Следовательно, с учетом обычного определения языка, распознаваемого недетерминированным автоматом, естественным определением недетерминированной остановки является экзистенциальная остановка, как предложено в первоначальном вопросе.

Большая часть этого анализа естественным образом распространяется на другие типы автоматов, хотя конструкции типа «ласточкин хвост» часто недоступны в менее мощных семействах, чем машины Тьюринга.

Вступление

Я пишу это как ответ, так как он частично отвечает на мой вопрос после долгих размышлений об этом, принимая во внимание существующие ответы. Кроме того, редактирование моего вопроса после трех ответов может в этом случае привести к путанице, и я бы предпочел оставить вопрос в том виде, в котором он был изначально написан, чтобы избежать этого.

Сначала я обсуждаю некоторые из моих разногласий с данными ответами. Суть не в том, чтобы пренебрегать честными попытками ответить на мой вопрос (спасибо за все ответы), а в том, чтобы разобраться в сути вопроса путем обсуждения или обсуждения технических вопросов.

Я думаю, что оригинальный вопрос вряд ли нуждается в контексте или мотивации. Проблема остановки - это один из основных вопросов, которые мы задаем об автоматах, с одной стороны, а недетерминизм - одна из очень распространенных и полезных функций многих автоматов, с другой стороны. Кроме того, недетерминизм - это не просто общее теоретическое средство для упрощения доказательств, но существенная особенность некоторых семейств автоматов, таких как линейный ограниченный автомат (LBA), по крайней мере, на момент написания этой статьи.

Следовательно, вполне естественно задаться вопросом, имеет ли проблема остановки значение или предпочтительное значение, которое и почему в случае недетерминированных автоматов.

Хорошо ли решена недетерминированная проблема остановки?

Мой вопрос удивляет, почему проблема остановки для недетерминированных автоматов, кажется, получает обработку второго класса , которая действительно вызвала отрицательный голос и ответ vzn. Ответ на ВЗН , что на самом деле более длинный комментарий, настаивает на том, что " недетерминизм кажется очень глубокий / повсеместного / Crosscutting концепцию в CS", в котором я никогда не сомневался. Он также дает одну ссылку на некоторые исследования о остановке для недетерминированных машин, что неудивительно, но на самом деле не затрагивает мою точку зрения. Моя точка зрения заключается в том, что я не помню, чтобы на самом деле я видел определение проблемы остановки, направленное на на недетерминированных машинах, хотя я действительно читал некоторую литературу в этой области. Это не рассматривается, AFAIK, в моем справочном учебнике (Hopcroft + Ullman 1979). В сознании людей часто неявно предполагается, что они рассматривают детерминированные автоматы, обычно Тьюринга машины, у которых ссылка определение является детерминированным.

Например, в вопросе Почему проблема остановки решаема для LBA? Юваль Фильмус в своем ответе забыл, что LBA - это недетерминированные устройства, но блестяще сохранил свой ответ с комментарием в 4 слова .

В качестве последнего свидетеля того факта, что эта проблема не решается в целом (несмотря на некоторые специализированные исследования), я бы назвал тот факт, что этот вопрос должен обсуждаться здесь.

Ответ от jmite является единственным , что на самом деле пытается объяснить , почему это не может быть хорошо решены. Его первый аргумент состоит в том, что есть два возможных определения, но я считаю, что эта ситуация должна скорее стимулировать дополнительный анализ, чтобы определить, какое определение будет наиболее подходящим. Я пытаюсь сделать это ниже.

Он также предполагает, что, поскольку недетерминированный ТМ всегда может быть преобразован в эквивалентный детерминированный, нет особого смысла беспокоиться о проблеме остановки в недетерминированном случае. Я не совсем убежден, но многие могут воспринимать это как вескую причину. Тем не менее, аргумент не применяется к линейно ограниченным автоматам (LBA), потому что остается открытой проблемой, эквивалентны ли детерминированные LBA недетерминированным LBA. И есть другие семейства автоматов, для которых детерминированное подсемейство слабее, чем все недетерминированное семейство (например, PDA).

Я также не согласен с последним пунктом, утверждая, что мы не должны заниматься недетерминированной остановкой, потому что с детерминированными машинами доказательства легче. Рафаэль возразил на это в комментарии : « Я обычно нахожу сокращения для более сложных проблем ». Действительно, для многих типов автоматов недетерминированная версия служит главным образом для упрощения доказательств, таких как приведение к автомату такого типа. Кроме того, наличие двух форм остановки, которые могут быть использованы, как предположил сам jmite, может даже рассматриваться как преимущество, поскольку дает большую гибкость для решения проблем.

Об определении недетерминированной проблемы остановки

_{Примечание: использование слова «универсальный» в следующем тексте относится к универсальному количественному определению , а НЕ к универсальным машинам Тьюринга.}

Ответ от jmite наиболее подробно.

Этот ответ предполагает, что недетерминированные автоматы способствуют меньшему усилию в решении проблемы остановки, потому что это может быть определено двумя различными способами (терминология - моя):

$M$ $x$
$M$ $x$

Единственное определение, которое я предложил, это экзистенциальная остановка .

$x$

Доказательство . Это легко доказать с помощью леммы Кенига , поскольку число возможных недетерминированных вариантов на каждом шаге ограничено для данного автомата. Если бы было бесконечно много остановок вычислений, мы могли бы пометить каждую конфигурацию каждым из вычислительных путей, ведущих к ней, что позволило бы создать граф вычислений с бесконечным числом узлов, но только конечным недетерминированным ветвлением в каждом узле. По лемме Кенига это подразумевает существование бесконечного вычислительного пути, соответствующего непрерывному вычислению.

Случай (недетерминированных) машин Тьюринга

Итак, теперь давайте рассмотрим остановку в случае недетерминированной машины Тьюринга (NTM).

Чтобы проанализировать два определения, на самом деле проще всего рассмотреть детерминированные версии недетерминированных машин, которые могут быть достигнуты, как вспоминает Хендрик Ян , путем согласования всех возможных вычислений.

Но есть (по крайней мере) два способа согласования вычислений для определения, хотя обычно рассматривается только один:

экзистенциальное определение ласточкиного хвоста, которое симулирует все вычисления параллельно и завершается, когда завершается одно из симулируемых вычислений.
универсальное определение ласточкиного хвоста, которое симулирует все вычисления параллельно и завершается только после завершения всех симулируемых вычислений. Но он может предположительно каким-то образом перечислить завершающие вычисления или подсчитать их.

Предложение 2 :

$M$ $x$ $M_\exists$ $x$
$M$ $x$ $M_\forall$ $x$

$M$ $x$ $M_\forall$ $x$

Теорема 3 : проблема остановки для детерминированной TM, а также экзистенциальная и универсальная задачи остановки для недетерминированной TM эквивалентны по Тьюрингу.

Доказательство : это вытекает из предложения 2 и того факта, что детерминированные ТМ являются подмножеством недетерминированной ТМ, где как экзистенциальная, так и универсальная остановка сводятся к простой детерминированной остановке.

Следовательно, с точки зрения вычислимости, и я испытываю желание сказать с точки зрения продвижения символов, кажется, что на самом деле не имеет значения, какое определение выбрано, экзистенциальное или универсальное, для недетерминированной проблемы остановки.

Зачем выбирать одно определение остановки НТМ и какие

Однако имеет ли смысл процесс детерминации, который не сохраняет язык, распознаваемый оригинальным автоматом?

Суть использования недетерминизма в распознавании языка состоит в том, что он предполагает оракула, который должен угадывать правильный вычислительный путь всякий раз, когда есть тот, который приведет к принятию, фундаментально экзистенциальный взгляд .

$\epsilon$

Таким образом, принятие путем остановки может рассматриваться как каноническая форма принятия для недетерминированных автоматов.

Учитывая этот канонический взгляд, проблема остановки также может быть эквивалентно выражена как проблема распознавания :

$L$ $M$ $x$ $x\in L$

$M$ $x$ $x$ $M$

Однако в случае всеобщей остановки эта тесная связь теряется. Аналогичное утверждение может быть сделано, но для языка, отличного от того, который признан NTM (или альтернативно для другого, универсального, определения того, что является языком, распознаваемым NTM).

При разработке теории важно использовать непротиворечивые определения, чтобы подчеркнуть структуры и отношения в их простейшей и наиболее заметной форме. Совершенно очевидно, что в данном случае согласованность с другими определениями предполагает, что экзистенциальная остановка является естественным определением остановки для недетерминированных машин Тьюринга.

$x$ $x$

Случай других семейств автоматов

Части вышеупомянутого анализа не могут быть распространены на большинство семейств недетерминированных автоматов. Например, пуш-апатон (PDA) может определять языки, которые не могут быть распознаны детерминистическим PDA. То же самое можно сказать и о LBA. Другие части могут быть распространены на все недетерминированные семейства.

Что касается определения недетерминированной остановки, даже если рассуждение, используемое в случае машины Тьюринга, может быть неприменимо, кажется, что единственным разумным выбором является принятие определения, которое согласуется с определением, используемым для недетерминированных машин Тьюринга, отсюда и экзистенциальное определение. ,

Определение задачи Остановки для этих семейств недетерминированных автоматов следует и соответствует определению, предложенному в вопросе.

— Babou
источник